Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{15(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geq 6(a+b+c)$$
Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{15(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geq 6(a+b+c)$$
[chặt hơn]
$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )+ \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab }{6\left ( a+ b+ c \right )}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{37\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 19\left ( ab+ bc+ ca \right )}{6\left ( a+ b+ c \right )}$$
[rất quen thuộc nếu bạn thường xuyên là khách của AoPS!]
$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{k\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- \left ( k- 3 \right )\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}$$
với $k= 6$
[hằng số tốt nhất bằng $k\cong 6.\,17080013597235$ là nghiệm của $x^{4}- 11\,x^{3}+ 72\,x^{2}- 304\,x+ 269= 0$]
[chặt hơn]
$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}+ \frac{15\left ( ab+ bc+ ca \right )}{a+ b+ c}\geqq 6\left ( a+ b+ c \right )+ \frac{\sum\limits_{cyc}a^{2}- \sum\limits_{cyc}ab }{6\left ( a+ b+ c \right )}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geqq \frac{37\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )- 19\left ( ab+ bc+ ca \right )}{6\left ( a+ b+ c \right )}$$
[rất quen thuộc nếu bạn thường xuyên là khách của AoPS!]
Anh giải thích hộ e cyc là gì ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganhbx: 12-07-2018 - 17:37
Ta có:
$$\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right ) = f\left ( a,\,b,\,c \right )+ f\left ( b,\,c,\,a \right )+ f\left ( c,\,a,\,b \right )$$
và $\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right )$ được hiểu như là tổng các hoán vị (cyclic) theo $a,\,b,\,c$ !
Ta có:
$$\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right ) = f\left ( a,\,b,\,c \right )+ f\left ( b,\,c,\,a \right )+ f\left ( c,\,a,\,b \right )$$
và $\sum\limits_{cyc}f\left ( a,\,b,\,c \right )$ được hiểu như là tổng các hoán vị (cyclic) theo $a,\,b,\,c$ !
à em cảm ơn ạ
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh