Cho ba số thực $a, b,c$, thỏa mãn $a+b+c>0$. $CMR:$ $\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 16-07-2018 - 22:30
Cho ba số thực $a, b,c$, thỏa mãn $a+b+c>0$. $CMR:$ $\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 16-07-2018 - 22:30
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
Cho ba số thực $a,b,c$, thỏa mãn $a+b+c>0$. CMR: $\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq\frac{1}{3}
Nhân cả 2 vế với $4(a+b+c)$
Để ý $\dfrac{a(4a+4b+4c)}{4a+4b+c}=a+\dfrac{3ac}{4a+4b+c}$
BĐT cần chứng minh trở thành:)
$\dfrac{9ac}{4a+4b+c}+\dfrac{9ab}{4b+4c+a}+\dfrac{9bc}{4a+4c+b}\le a+b+c$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\dfrac{9}{4a+4b+c}=\dfrac{(2+1)^{2}}{2(2a+b)+(2b+c)}\le \dfrac{2}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}$
Suy ra $\dfrac{9ac}{4a+4b+c}\le \dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{ac}{2b+c}$
Tương tự
$\dfrac{9ab}{4b+4c+a}\le \dfrac{2ab}{2b+c}+\dfrac{ab}{2c+a}$
$\dfrac{9bc}{4a+4c+b}\le \dfrac{2bc}{2c+a}+\dfrac{bc}{2a+b}$
Cộng từng vế BĐT
$\dfrac{9ac}{4a+4b+c}+\dfrac{9ab}{4b+4c+a}+\dfrac{9bc}{4a+4c+b}$
$\leq \dfrac{2ac+bc}{2a+b}+\dfrac{ac+2ab}{2b+c}+\dfrac{ab+2bc}{2c+a}$
$=a+b+c$
(ĐFCM)
----------------------------------
P/S :Bạn xem lại đề nhé , là dấu $\leq $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 15-07-2018 - 16:39
WangtaX
Chuẩn hóa $a+ b+ c= 3$. Ta giả sử $b= m\,i\,d\,\left ( a,\,b,\,c \right )$
$$\sum\limits_{cyc} \frac{a}{4\,a+ 4\,b+ c}\leqq 1/\,3\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{a}{4- a}\leqq 1$$
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}a^{2}\,b+ a\,b\,c\leqq 4$$
$$\Leftrightarrow \left ( 4- b \right )\left ( 1- b \right )^{2}+ b\left ( 3- a- b- c \right )\left ( 3+ a+ c- b \right )+ c\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )\geqq 0$$
=============================================
Edited: Khai triển bất đẳng thức ban đầu, ta được:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 15-07-2018 - 19:38
Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $b= \text{mid}\left \{ a,\,b,\,c \right \}$
$$\frac{1}{3}- \sum\limits_{\text{sym}}\frac{a}{4\,a+ 4\,b+ c} = \frac{ 27\,\left ( a- b \right )\,\left ( b- c \right )\,c}{\prod\limits_{cyc}\left ( 4\,a+ 4\,b+ c \right )}+ \frac{\left ( -a- c+ 2\,b \right )^{\,2}}{\left ( 4\,a+ 4\,b+ c \right )\,\left ( a+ 4\,b+ 4\,c \right )}\geqq 0$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh