Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\geq\frac{1}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
doandoan314

doandoan314

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Cho ba số thực $a, b,c$, thỏa mãn $a+b+c>0$. $CMR:$ $\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 16-07-2018 - 22:30

%%- Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU %%-


#2
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Cho ba số thực $a,b,c$, thỏa mãn $a+b+c>0$. CMR: $\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq\frac{1}{3}

Nhân cả 2 vế với $4(a+b+c)$

Để ý :) $\dfrac{a(4a+4b+4c)}{4a+4b+c}=a+\dfrac{3ac}{4a+4b+c}$

BĐT cần chứng minh trở thành:)

$\dfrac{9ac}{4a+4b+c}+\dfrac{9ab}{4b+4c+a}+\dfrac{9bc}{4a+4c+b}\le a+b+c$

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\dfrac{9}{4a+4b+c}=\dfrac{(2+1)^{2}}{2(2a+b)+(2b+c)}\le \dfrac{2}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}$

Suy ra $\dfrac{9ac}{4a+4b+c}\le \dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{ac}{2b+c}$

Tương tự :)

$\dfrac{9ab}{4b+4c+a}\le \dfrac{2ab}{2b+c}+\dfrac{ab}{2c+a}$

$\dfrac{9bc}{4a+4c+b}\le \dfrac{2bc}{2c+a}+\dfrac{bc}{2a+b}$

Cộng từng vế BĐT :) 

$\dfrac{9ac}{4a+4b+c}+\dfrac{9ab}{4b+4c+a}+\dfrac{9bc}{4a+4c+b}$

 

 $\leq \dfrac{2ac+bc}{2a+b}+\dfrac{ac+2ab}{2b+c}+\dfrac{ab+2bc}{2c+a}$ 

 

$=a+b+c$

(ĐFCM)

----------------------------------

P/S :Bạn xem lại đề nhé , là dấu $\leq $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 15-07-2018 - 16:39

WangtaX

 


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Chuẩn hóa $a+ b+ c= 3$. Ta giả sử $b= m\,i\,d\,\left ( a,\,b,\,c \right )$

 

 

 

$$\sum\limits_{cyc} \frac{a}{4\,a+ 4\,b+ c}\leqq 1/\,3\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} \frac{a}{4- a}\leqq 1$$

 

 

 

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}a^{2}\,b+ a\,b\,c\leqq 4$$

 

 

 

$$\Leftrightarrow \left ( 4- b \right )\left ( 1- b \right )^{2}+ b\left ( 3- a- b- c \right )\left ( 3+ a+ c- b \right )+ c\left ( a- b \right )\left ( b- c \right )\geqq 0$$

 

 

 

=============================================

 

 

 

Edited: Khai triển bất đẳng thức ban đầu, ta được:

 

 

 

$$0\leqq 4\,\sum\limits_{cyc}a^{3}+ 12\,\sum\limits_{cyc}a^{2}c- 15\,\sum\limits_{cyc}a^{2}b- 3\,\prod\limits_{cyc}a$$
 
 
 
$$\Leftrightarrow  12\,\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2}b- \sum\limits_{cyc}ab^{2} \right )\leqq 3\left ( \sum\limits_{cyc}a^{3}- \sum\limits_{cyc}a^{2}b \right )+ \sum\limits_{cyc}a^{3}- 3\,\prod\limits_{cyc}a$$
 
 
 
$$\Leftrightarrow  12\prod\limits_{cyc} \left ( a- b \right )\leqq \sum\limits_{cyc} \left ( 2\,b+ c+ \frac{a+ b+ c}{2} \right )\left ( b- c \right )^{2}$$
 
 
 
Xét $a,\,b,\,c\rightarrow a- t,\,b- t,\,c- t;\,\,\,t= \min \left ( a,\,b,\,c \right )= 0\Rightarrow  t= 0$
 
 
 
 
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a+ b+ c= 3,\,c= \min \left ( a,\,b,\,c \right )$,
 
 
 
Suy ra bất đẳng thức ta cần chứng minh tương đương với $a^{2}b\leqq 4$ với $a+ b= 3$ như bài đã nêu trên!
 
 
 
 
$$4\,\left ( a+ b \right )^{3}- 27\,a^{2}\,b= \left ( a- 2\,b \right )^{2}\left ( 4\,a+ b \right )\geqq 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 15-07-2018 - 19:38


#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $b= \text{mid}\left \{ a,\,b,\,c \right \}$

$$\frac{1}{3}- \sum\limits_{\text{sym}}\frac{a}{4\,a+ 4\,b+ c} = \frac{ 27\,\left ( a- b \right )\,\left ( b- c \right )\,c}{\prod\limits_{cyc}\left ( 4\,a+ 4\,b+ c \right )}+ \frac{\left ( -a- c+ 2\,b \right )^{\,2}}{\left ( 4\,a+ 4\,b+ c \right )\,\left ( a+ 4\,b+ 4\,c \right )}\geqq 0$$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh