Tìm số tự nhiên $n$ de: $5^n+n^2+88$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-07-2018 - 22:55
Tìm số tự nhiên $n$ de: $5^n+n^2+88$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-07-2018 - 22:55
Ta chứng minh được $n$ chẵn khi xét mod $4$
$=>n=2k(k\epsilon \mathbb{N})$
$=>25^{k}+4k^{2}+88=a^{2}(a\epsilon \mathbb{N})$
Xét $k=0,1,2$
Xét $k\geq 3$
Dễ dàng thấy được $a^{2}> 25^{k}$
Ta CM: $(5^{k}+2)^{2}> a^{2}<=>5^{k}> k^{2}+21$ với $k\epsilon \mathbb{N},k\geq 3$ theo quy nạp
$k=3$ mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với $k=t$ thỏa mãn $5^{t}> t^{2}+21$
CM:$5^{t+1}> (t+1)^{2}+21=t^{2}+2t+22$
Do $5^{t}> t^{2}+21=>5.5^{t}> 5t^{2}+105> t^{2}+2t+22$
Suy ra $a^{2}=(5^{k}+1)^{2}<=>4k^{2}+87=2.5^{k}\vdots 5 > .<$ do $k^{2}\equiv 0,1,4(mod5)=>VT$ không chia hết cho $5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 16-07-2018 - 15:20
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh