Chủ đề này có 1 trả lời

[eLcouQTai]

Tìm số tự nhiên $n$ de: $5^n+n^2+88$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-07-2018 - 22:55

[Tea Coffee]

Ta chứng minh được $n$ chẵn khi xét mod $4$

$=>n=2k(k\epsilon \mathbb{N})$

$=>25^{k}+4k^{2}+88=a^{2}(a\epsilon \mathbb{N})$

Xét $k=0,1,2$

Xét $k\geq 3$

Dễ dàng thấy được $a^{2}> 25^{k}$

Ta CM: $(5^{k}+2)^{2}> a^{2}<=>5^{k}> k^{2}+21$ với $k\epsilon \mathbb{N},k\geq 3$ theo quy nạp 

$k=3$ mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với $k=t$ thỏa mãn $5^{t}> t^{2}+21$

CM:$5^{t+1}> (t+1)^{2}+21=t^{2}+2t+22$

Do $5^{t}> t^{2}+21=>5.5^{t}> 5t^{2}+105> t^{2}+2t+22$

Suy ra $a^{2}=(5^{k}+1)^{2}<=>4k^{2}+87=2.5^{k}\vdots 5 > .<$ do $k^{2}\equiv 0,1,4(mod5)=>VT$ không chia hết cho $5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 16-07-2018 - 15:20