Cho $\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$. Tìm $GTNN$ $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 16-07-2018 - 14:00
Cho $\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$. Tìm $GTNN$ $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 16-07-2018 - 14:00
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
Cho $\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$. Tìm $GTNN$ $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$
$P=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}}\geq x^{2}+1+\frac{1}{(3-\frac{1}{x})^{2}}=x^{2}+1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}}$ (Do $y \geq 1$)
$x> \frac{1}{3}=>3x-1> 0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:
$x^{2}+\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}}=\frac{x^{2}}{3x-1}$
Ta CM: $\frac{x^{2}}{3x-1}\geq \frac{1}{2}<=>2x^{2}\geq 3x-1<=>(x-1)(2x-1)\geq 0$ đúng do $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}$
$1+\frac{3x^{2}}{4(3x-1)^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}})\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2.\frac{x}{3x-1}\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2=\frac{7}{4}$
do $\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{3}.\frac{3x}{3x-1}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{3x-1})\geq \frac{1}{3}(1+\frac{1}{\frac{3}{2}-1})=1$
Dấu bằng xảy ra : $x = \frac{1}{2}, y =1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 16-07-2018 - 15:56
WangtaX
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh