Đến nội dung

Hình ảnh

$Minx^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
doandoan314

doandoan314

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Cho $\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$. Tìm $GTNN$ $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 16-07-2018 - 14:00

%%- Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU %%-


#2
BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Cho $\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$. Tìm $GTNN$ $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

$P=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}}\geq x^{2}+1+\frac{1}{(3-\frac{1}{x})^{2}}=x^{2}+1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}}$ (Do $y \geq 1$)

$x> \frac{1}{3}=>3x-1> 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:

$x^{2}+\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}}=\frac{x^{2}}{3x-1}$

Ta CM: $\frac{x^{2}}{3x-1}\geq \frac{1}{2}<=>2x^{2}\geq 3x-1<=>(x-1)(2x-1)\geq 0$ đúng do  $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}$

$1+\frac{3x^{2}}{4(3x-1)^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}})\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2.\frac{x}{3x-1}\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2=\frac{7}{4}$

do $\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{3}.\frac{3x}{3x-1}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{3x-1})\geq \frac{1}{3}(1+\frac{1}{\frac{3}{2}-1})=1$

Dấu bằng xảy ra : $x = \frac{1}{2}, y =1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 16-07-2018 - 15:56

WangtaX

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh