Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$
\sum\frac{1}{\sqrt{1+8a}}
#1
Đã gửi 16-07-2018 - 14:07
- Tea Coffee và thien huu thích
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
#2
Đã gửi 16-07-2018 - 15:31
Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$
Do abc=1 nên tồn tại x;y;z thỏa mãn$a=\frac{xy}{z^{2}};b=\frac{yz}{x^{2}};c=\frac{zx}{y^{2}}$
BĐT trở thành $\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}\geq 1$ ( IMO 2001)
- Tea Coffee, BurakkuYokuro11 và doandoan314 thích
Tôi là chính tôi
#3
Đã gửi 16-07-2018 - 18:23
Đặt:
$$a,\,b,\,c= \frac{2}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{2}{z}$$
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
$$\frac{1}{\sqrt{1+ x^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+ y^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+ z^{3}}}\geqq 1$$
Mặt khác:
$$\frac{1}{\sqrt{1+ x^{3}}}\geqq \frac{2}{x^{2}+ 2}\Leftrightarrow \left ( x^{2}- 2\,x \right )^{2}\geqq 0$$
Do đó với $xyz= 8$ thì:
$$\frac{2}{x^{2}+ 2}+ \frac{2}{y^{2}+ 2}+ \frac{2}{z^{2}+ 2}\geqq 1$$
Tiếp tục đặt:
$$x^{2},\,y^{2},\,z^{2}= u^{3},\,v^{3},\,w^{3}$$
Dẫn đến:
$$\frac{vw}{vw + 2\,u^{2}} + \frac{wu}{wu + 2\,v^{2}} + \frac{uv}{uv + 2\,w^{2}}\geqq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{uvw\left ( u+ v+ w \right )\left \{ \left ( 2\,u- v- w \right )^{2}+ 3\left ( v- w \right )^{2} \right \}}{4\left ( 2\,u^{2}+ vw \right )\left ( 2\,v^{2}+ wu \right )\left ( 2\,w^{2}+ uv \right )}\geqq 0$$
- viet9a14124869 và thanhdatqv2003 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh