Đến nội dung

Hình ảnh

\sum\frac{1}{\sqrt{1+8a}}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
doandoan314

doandoan314

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$


%%- Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU %%-


#2
trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$

Do abc=1 nên tồn tại x;y;z thỏa mãn$a=\frac{xy}{z^{2}};b=\frac{yz}{x^{2}};c=\frac{zx}{y^{2}}$

BĐT trở thành $\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}\geq 1$ ( IMO 2001)


                                                                           Tôi là chính tôi


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Đặt:

 

$$a,\,b,\,c= \frac{2}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{2}{z}$$

 

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

 

$$\frac{1}{\sqrt{1+ x^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+ y^{3}}}+ \frac{1}{\sqrt{1+ z^{3}}}\geqq 1$$

 

Mặt khác:

 

$$\frac{1}{\sqrt{1+ x^{3}}}\geqq \frac{2}{x^{2}+ 2}\Leftrightarrow  \left ( x^{2}- 2\,x \right )^{2}\geqq 0$$

 

Do đó với $xyz= 8$ thì:

 

$$\frac{2}{x^{2}+ 2}+ \frac{2}{y^{2}+ 2}+ \frac{2}{z^{2}+ 2}\geqq 1$$

 

Tiếp tục đặt:

 

$$x^{2},\,y^{2},\,z^{2}= u^{3},\,v^{3},\,w^{3}$$

 

Dẫn đến:

 

$$\frac{vw}{vw + 2\,u^{2}} + \frac{wu}{wu + 2\,v^{2}} + \frac{uv}{uv + 2\,w^{2}}\geqq 1$$

 

$$\Leftrightarrow  \frac{uvw\left ( u+ v+ w \right )\left \{ \left ( 2\,u- v- w \right )^{2}+ 3\left ( v- w \right )^{2} \right \}}{4\left ( 2\,u^{2}+ vw \right )\left ( 2\,v^{2}+ wu \right )\left ( 2\,w^{2}+ uv \right )}\geqq 0$$

 

 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh