Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi OLYMPIC gặp gỡ Toán Học năm 2018

olympic 2018

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-07-2018 - 18:51

LỚP 10

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a,b)$ thoả mãn phương trình: 

$$(a+b)^4=6a^2+8ab+6b^2$$

 

Bài 2. Với $a,b,c$ là ba số thực không âm thoả mãn điều kiện $(a+1)(b+1)(c+1)=8$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$

 

Bài 3. Trong một giải đấu bóng đá, các đội thi đấu vòng tròn một lượt với nhau. Kết thúc mỗi trận đấu, đội thắng sẽ được 3 điểm, đội thua được 0 điểm, còn nếu hai đội hoà nhau thì mỗi đội được 1 điểm. Kết thúc giải đấu, có một đội giành được nhiều điểm nhất giải nhưng lại có số trận thắng ít nhất. Tìm số đội bóng tối thiểu có thể có của giải.

 

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có I là tâm đường tròn nội tiếp. Tia AI cắt (O) tại J khác A. Đường thẳng JO cắt (O) tại K khác J và cắt BC tại E. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại S. Đường thẳng SA cắt (O) tại D khác A, đường thẳng DI cắt (O) tại M khác D.

Chứng minh JM đi qua trung điểm đoạn IE.

 

 

 

LỚP 11

Bài 1. Xét bảng vuông $nxn$ ô trong đó $n$ là bội số của $3$. Ta muốn tô màu một số ô sao cho trong mỗi bảng con $mxm$ với $m>1$, số ô được tô không lớn hơn số ô không được tô.

Hỏi có tối đa bao nhiêu ô được tô?

 

Bài 2. Cho $n,k$ là các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại các bộ số nguyên $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ và $B=(b_1,b_2,...,b_n)$ không trùng nhau sao cho

$$\large a_1^{i}+a_2^{i}+.....+a_n^{i}=b_1^{i}+b_2^{i}+....+b_n^{i}$$

 

với mọi số nguyên dương i không vượt quá $k$.

a) Với $n=3,k=2$, hãy tìm một cặp $(A,B)$  thoả mãn điều kiện đề bài.

b) Chứng minh rằng $n \geq k+1$.

 

Bài 3. Các điểm X và Y tương ứng nằm trên các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại B,C sao cho $AB=BX$ và $AC=CY$ (các điểm $X,Y,A$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $BC$). Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng góc BAC + góc XIY = $180^0$

 

Bài 4. Cho A là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương thoả mãn điều kiện: với mọi cặp hai phần tử phân biệt $x,y$ thuộc A thì ta có

$$|x-y| \geq \frac{xy}{31}$$

Hỏi A có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

 

 

 

 

LỚP 12

Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng

$$3abc \geq 10(a^3+b^3+c^3-1)$$

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC(AB<AC)$  không cân nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AC, AB lấy D, E sao cho tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm (O'). Gọi F là giao điểm của BC, DE. M là hình chiếu của O' lên AF. G là giao điểm của BD, CE. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của M lên $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm I, J, K thẳng hàng và nằm trên đường thẳng d.

b) d chia đôi MG.

 

Bài 3. Cho A là tập hợp gồm $2n-1$ số thực dương phân biệt $(n\geq 2)$ có tổng bằng S. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất $C_{2n-2}^{n-1}$ tập con n phần tử của A mà tổng các phần tử của mỗi tập con ấy không nhỏ hơn $\frac{S}{2}$.

 

Bài 4. 

a) Chứng minh rằng trong 6 số nguyên liên tiếp, khi lấy 5 số tùy ý thì tồn tại 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

b) Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, gọi $f(n)$ là số nhỏ nhất sao cho trong mọi tập con $f(n)$ phần tử của tập hợp gồm n số tự nhiên liên tiếp đều tìm được 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm công thức xác định $f(n)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 16-07-2018 - 21:10

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#2 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 16-07-2018 - 19:42

Ra mỗi bài 1 lớp 10 :v Bài đó dễ nhất :D


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#3 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 16-07-2018 - 22:57

{ Đề lớp 11 }

Bài 1:

Gọi S là số ô được tô ở bảng
Xét TH n=3
Với m=2, đề bài tương đương số ô được tô <= số ô ko tô
       0 1 0 
       1 0 1
        0 1 0 
Do bảng 3x3 có 9 ô mà số ô đc tô <= số ô ko nên S<=4
Với S=4 ta xây dựng được như bảng trên
 
* Xét n>3 khi đó n=3k với k>=2
Do đó bảng đã cho chia được thành k^2 ma trận 3x3
Do đề bài nên mỗi ma trận này cũng đều có tối đa 4 ô được tô
 
* Ta chỉ cần CMR cách tô này sẽ t/m với mọi bảng mxm đều có số ô tô <= số ô ko là xong
 
Xét bảng có dạng 2u x 2u: Do trong hv 2x2 luôn <= 2 ô được tô
=> Trong bảng 2u x 2u có số ô được tô <= số ô ko tô (t/m)
 
Xét bảng có dạng 2u+1 x 2u+1: 
Dễ dàng cm nx sau với cách tô trên: Mọi bảng 2xu hoặc ux2 đều chứa <=u ô được tô màu
 
0 1 0 0  1 Xét giả thiết quy nạp với bảng 2u-1 x 2u-1
1 0 1 1  0 Xét bảng (2u+1)x(2u+1) là hợp của 4 hình sau: (2u-1)x(2u-1) + HCN dưới((2u-1)x2) + HCN phải(2x(2u-1)) +  góc (2x2) phải dưới
0 1 0 0  1 + HCN dưới: Là ảnh của phép tịnh tiến từ 2 hàng đầu xuống nên có <= (2u-1) ô được tô
0 1 0 0  1         + HCN phải: Là ảnh của phép tịnh tiến từ 2 cột đầu sang nên cũng có <= (2u-1) ô được tô
 
1 0 1 1  0 + HV góc: Là tịnh tiến của hình 2x2 ban đầu, theo gt quy nạp có <= 2 ô được tô
Từ gt quy nạp: Bảng (2u-1) x (2u-1) có <= 1/2 (4u^2-4u+1) ô được tô
Cộng 3 hình trên => Bảng (2u+1) x (2u+1) có <= 1/2(4u^2-4u+1) + (2u-1) + (2u-1) + 2x2 =1/2(4u^2+4u+1)=1/2(2u+1)^2 ô được tô
Vậy giả thiết quy nạp hoàn toàn đúng
Vậy ta có cách tô này luôn t/m với mọi bảng mxm
 
Từ các lập luận trên, số ô được tô max trong 1 bảng nxn với n chia hết cho 3 là (2/3.n)^2
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 16-07-2018 - 23:02


#4 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 16-07-2018 - 23:04

a) (7,1,10)=(11,5,2)
b) n>=k+1
Gs phản chứng tức k>=n mà tồn tại (A,B) phân biệt thỏa đề
Bỏ qua trường hợp tầm thường là i=0
n=3, k>=3 khi đó: a1^3+a2^3+a3^3=b1^3+b2^3+b3^3
Có: (a1+a2+a3)^3=(b1+b2+b3)^3 
->(a1+a2)(a2+a3)(a1+a3)=(b1+b2)(b2+b3)(b3+b1)
->(a1+a2+a3)(a1a2+a1a3+a2a3)-a1a2a3=...
Với i=1,2 => a1a2a3=b1b2b3
Xét đa thức P(x)=(x-a1)..(x-a3) và Q(x)=(x-b1)..(x-b3)
Cân bằng hệ số 2 đa thức dễ thấy P trùng Q
 
* Ta CM = quy nạp bổ đề sau:
(x1+x2+...xn)^n-x1^n-...-xn^n biểu diễn đối xứng qua các xi
n=3: 3(x1+x2)(x2+x3)(y+z) đối xứng (t/m)
G/s nó đúng đến n-1, ta xét n:
Xét đa thức: Pn(x): (x+x2+..+xn)^n-x^n-...-xn^n
Sử dụng khai triển taylor cho đa thức trên, ta cố định a=-(x2+..+xn)
Thì Pn(x)=f(a)+...+f'''(n lần)(a)(x-a)^n/n! (Đạo hàm)
Theo giả thiết quy nạp, ta có Pi(x) biểu diễn đối xứng giữa i biến với i chạy đến n-1
Vì vậy Pn(x) cũng đối xứng theo các biến
Ta hoàn tất quy nạp. Vậy bổ đề được CM.
 
* Trở lại bài toán: 
Do TH n=3 t/m nên các th sau dễ dàng xây dựng với ai=bi nếu n>=k+1
G/s phản chứng rằng n<k+1 hay k>=n
Do nó đúng với i=0,k mà k>=n nên nó cũng đúng với n
Vì vậy a1^n+..+an^n=b1^n+..+bn^n (1)
Mà a1+..+an=b1+..+bn (2)
Lấy (2)^n-(1) và áp dụng bổ đề ta có ngay chúng biểu diễn đc
đối xứng qua a1, ... an với deg(ai)<=n-1
Lại bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng thấy các khai triển trên
biểu diễn đối xứng qua các ai và ta lùi cho đến khi deg <=1
** Ví dụ như với n=3: i=1,2,3 thì a1a2a3=b1b2b3, a1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b2b3+b1b3, a1+a2+a3=b1+b2+b3
 
Vậy giả thiết quy nạp hoàn tất
Xét P(x)=(x-a1)..(x-an), Q(x)=(x-b1)..(x-bn)
Cân bằng hệ số giữa P,Q ta thấy với mọi deg<=n hệ số đều = nhau
Vậy P trùng Q tương đương A trùng B
Điều này là vô lí với đề bài.
Vậy n>=k+1
 


#5 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 16-07-2018 - 23:07

Bài 4:

Giả sử |S|=n với X1<X2<...<Xn
Dễ thấy: 31Xn>31(Xn - Xn-1)>=Xn . Xn-1 (giả thiết)
Vậy Xn-1<31 => Xn-1<31
 
Từ giả thiết dễ thấy Xi+1>=31Xi/(31-Xi)
Từ đó kéo theo 15>=Xn-2, 10>=Xn-3, 7>=Xn-4, 5>=Xn-5
Từ bđt cuối thì n-5<=6
Ngược lại n-5>=6 thì có 1<=X1<X2<...<X6<=5 mà Xi nguyên, vô lí
Vậy max n=10
Tập t/m là {1,2,3,4,5,7,10,15,30,90}


#6 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 16-07-2018 - 23:10

Bài 3:

Hình gửi kèm

  • gogo.png


#7 Tran Thuy Dung

Tran Thuy Dung

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 17-07-2018 - 12:03

bài hình 4 ai có hướng kẻ hình phụ chưa ạ



#8 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-07-2018 - 23:03

https://diendantoanh...-tàu-2017-2018/

Bài 4 khối lớp 10 đã được chứng minh ở đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 17-07-2018 - 23:03


#9 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 21-07-2018 - 13:17

Đề lớp 10

37305872_434027703747783_731914122323768


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#10 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 21-07-2018 - 13:18

37279507_434054050411815_361026918883419

Câu bất lớp 10


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#11 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 21-07-2018 - 13:20

Câu tổ lớp 10. Các trường hợp còn lại làm tương tự

37334216_261728257967544_396255457409446

37361139_261693264637710_428355509544812


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#12 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 21-07-2018 - 13:26

Câu bất lớp 12 37342175_419328228574810_732526043064801


Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#13 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 23-07-2018 - 19:55

Bài 2 (Lớp 10):

Không mất tính tổng quát, giả sử: $$c \leq b \leq a.$$
Ta có: $$(a+1)(b+1)(c+1)=8 \Leftrightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca=7$$
Ta chú ý rằng: $$7=abc+a+b+c+ab+bc+ca \geq a+\dfrac{c}{2}+b+\dfrac{c}{2} +(a+\dfrac{c}{2})(b+\dfrac{c}{2}).$$
Mặt khác: $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-(a+\dfrac{c}{2})^2(b+\dfrac{c}{2})^2$$
$$=\dfrac{c}{16}(12a^2(c-b)+12b^2(c-a)-4a^2b-4ab^2-4ac^2-4bc^2-16abc-c^3)\leq 0 $$
Do đó: $$ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leq (xy)^2$$ với $x=a+\dfrac{c}{2},y=b+\dfrac{c}{2}$.
Do $$x+y+xy \leq 7 \Leftrightarrow xy \leq (2\sqrt{2}-1)^2$$
Do đó: $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leq (xy)^2 \leq (2\sqrt{2}-1)^4$$.
Dấu bằng xảy ra khi có một số bằng $0$ và hai số còn lại bằng $2\sqrt{2}-1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Quoc Thang: 23-07-2018 - 19:57






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh