Cho $a, b, c$ dương, thỏa mãn $a+b+c=3$. $CMR:$ $\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c^3}{(b+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$
$\sum\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}$
Bắt đầu bởi doandoan314, 16-07-2018 - 22:22
#1
Đã gửi 16-07-2018 - 22:22
doandoan314
-
- Thành viên
-
- 72 Bài viết
Hạ sĩ
- thien huu và thanhdatqv2003 thích
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
#2
Đã gửi 16-07-2018 - 22:45
thanhdatqv2003
-
- Thành viên
-
- 159 Bài viết
Trung sĩ
Cho $a, b, c$ dương, thỏa mãn $a+b+c=3$. $CMR:$ $\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c^3}{(b+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$
Áp dụng BĐT : AM-GM ta có : $\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}.\frac{b+1}{8}.\frac{c+1}{8}}=\frac{3a}{4}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại :
Suy ra: $VT\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c+3}{4}=\frac{2(a+b+c)-3}{4}=\frac{2.3-3}{4}=\frac{3}{4}$ (đpcm)
- Tea Coffee, thien huu, BurakkuYokuro11 và 1 người khác yêu thích
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
