Chủ đề này có 2 trả lời

[dungxibo123]

Có tồn tại hay không đa thức $P(x)=x^2+ax+b$ với $a \neq 0$ và $a^2-4b \neq 0$

nhận giá trị chính phương tại $2010$ điểm phân biệt. Đa thức thuộc trường số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 17-07-2018 - 12:37

[dungxibo123]

     

[Hr MiSu]

Mình nghĩ là có nhé.... xét phương trình $x^2+ax+b-k^2=0$, $k$ nguyên dương, (***)

thế thì

$\Delta =a^2-4b+4k^2$, để có nghiệm nguyên thì $\Delta=t^2=a^2-4b+4k^2$,t nguyên dương,

suy ra $(t-2k)(t+2k)=a^2-4b$

Nếu ta viết được $a^2-4b$ theo 2010 cách dưới dạng 4p.4q, p<q thì ta sẽ chọn được t,k nguyên dương, 

và phương trình có nghiệm $\frac{a+t}{2}\in \mathbb{Z}$, mà với mỗi cách chọn p,q đưa ta tới 1 phương trình có nghiệm khác nhau, hay do đó mà có thể có 2010 giá trị k để tồn tại x nguyên và phương trình $x^2+ax+b-k^2=0$