Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 doandoan314

doandoan314

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-07-2018 - 18:05

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 17-07-2018 - 18:07

%%- Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU %%-


#2 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 17-07-2018 - 20:51

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z

$x^4+x^4+y^4+z^4\geq 4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4\left | x^2yz \right |\geq 4x^2yz$

Tương tự ta có: $y^4+y^4+z^4+x^4\geq 4y^2zx$; $z^4+z^4+x^4+y^4\geq 4z^2xy$

Cộng vào ta có đpcm


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#3 bdgi

bdgi

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Barcelona
  • Sở thích:Messi

Đã gửi 17-07-2018 - 20:56

BDDT phụ : $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+xz$ (tự cm đc)

Ad BĐT trên $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{2}.y^2+y^2.z^2+z^2.x^2\geq xy^2z+xz^2y+zyx^2 =xyz(x+y+z )$

Dấu = xr khi x=y=z


"Sau khi đã loại bỏ hết các yếu tố không thực hay vô lý, cái còn lại dù có vô lý đến đâu cũng phải coi đó là sự thật."

                                                                        - Conan Doyle

                             

 


 

 

 

 


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 18-07-2018 - 08:11

Giả sử $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$

Nếu $xyz= 0$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!

Nếu $xyz\neq  0$ thay $\left ( x,\,y,\,z \right )\rightarrow \left ( -\,x,\,-\,y,\,-\,z \right )$ thì bất đẳng thức không đổi nên ta có thể giả sử $xyz\leqq 0$, mà $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$ nên $xy\geqq 0$. Khi đó:

$$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left \{ \left ( x+ y \right )^{2}+ z^{2} \right \}\left ( x- y \right )^{2}+ \left [ \left ( x- z \right )\left ( y- z \right )+ xy \right ]\left ( x- z \right )\left ( y- z \right )\geqq 0$$

Spoiler

 

 

 



#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-07-2018 - 07:45

$$x^{4}+ \underbrace{yz}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq xyz\left ( x+ y+ z \right )$$



#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-07-2018 - 07:48

$$\left ( x^{2}+ yz \right )^{2}+ \underbrace{yz}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$



#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-07-2018 - 07:49

$$x^{2}\left ( x^{2}+ y^{2} \right )+ \underbrace{yz\left ( y+ z \right )\left ( z+ x \right )}_{\geqq 0}\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$



#8 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-07-2018 - 07:51

$$\left ( x^{2}+ yz \right )\left ( y^{2}+ zx \right )+ \underbrace{xy}_{\geqq 0} \left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$



#9 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-07-2018 - 07:53

$$\underbrace{xy}_{\geqq 0}\left ( x^{2}+ z^{2} \right )+ \underbrace{z\left ( x+ y \right )}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ zx \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$



#10 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 28-10-2018 - 19:26

Giả sử $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$

Nếu $xyz= 0$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!

Nếu $xyz\neq  0$ thay $\left ( x,\,y,\,z \right )\rightarrow \left ( -\,x,\,-\,y,\,-\,z \right )$ thì bất đẳng thức không đổi nên ta có thể giả sử $xyz\leqq 0$, mà $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$ nên $xy\geqq 0$. Khi đó:

$$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left \{ \left ( x+ y \right )^{2}+ z^{2} \right \}\left ( x- y \right )^{2}+ \left [ \left ( x- z \right )\left ( y- z \right )+ xy \right ]\left ( x- z \right )\left ( y- z \right )\geqq 0$$

Spoiler

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{^{2}}\geqq 3\,\left ( x^{3}y+ y^{3}z+ z^{3}z \right )\\ x^{3}y+ y^{3}z+ z^{3}z\geqq xyz\left ( x+ y+ z \right ) \end{matrix}\right.$$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh