Chủ đề này có 9 trả lời

[doandoan314]

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 17-07-2018 - 18:07

[Khoa Linh]

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z

$x^4+x^4+y^4+z^4\geq 4\sqrt[4]{x^8y^4z^4}=4\left | x^2yz \right |\geq 4x^2yz$

Tương tự ta có: $y^4+y^4+z^4+x^4\geq 4y^2zx$; $z^4+z^4+x^4+y^4\geq 4z^2xy$

Cộng vào ta có đpcm

[bdgi]

BDDT phụ : $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+xz$ (tự cm đc)

Ad BĐT trên $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{2}.y^2+y^2.z^2+z^2.x^2\geq xy^2z+xz^2y+zyx^2 =xyz(x+y+z )$

Dấu = xr khi x=y=z

[DOTOANNANG]

Giả sử $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$

Nếu $xyz= 0$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!

Nếu $xyz\neq  0$ thay $\left ( x,\,y,\,z \right )\rightarrow \left ( -\,x,\,-\,y,\,-\,z \right )$ thì bất đẳng thức không đổi nên ta có thể giả sử $xyz\leqq 0$, mà $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$ nên $xy\geqq 0$. Khi đó:

$$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left \{ \left ( x+ y \right )^{2}+ z^{2} \right \}\left ( x- y \right )^{2}+ \left [ \left ( x- z \right )\left ( y- z \right )+ xy \right ]\left ( x- z \right )\left ( y- z \right )\geqq 0$$

Spoiler

$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left ( \sum\limits_{cyc}x \right )^{2}\left ( \sum\limits_{cyc}x^{2}- \sum\limits_{cyc}xy \right )\geqq 0$

 

 

 

[DOTOANNANG]

$$x^{4}+ \underbrace{yz}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq xyz\left ( x+ y+ z \right )$$

[DOTOANNANG]

$$\left ( x^{2}+ yz \right )^{2}+ \underbrace{yz}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$

[DOTOANNANG]

$$x^{2}\left ( x^{2}+ y^{2} \right )+ \underbrace{yz\left ( y+ z \right )\left ( z+ x \right )}_{\geqq 0}\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$

[DOTOANNANG]

$$\left ( x^{2}+ yz \right )\left ( y^{2}+ zx \right )+ \underbrace{xy}_{\geqq 0} \left ( y^{2}+ z^{2} \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$

[DOTOANNANG]

$$\underbrace{xy}_{\geqq 0}\left ( x^{2}+ z^{2} \right )+ \underbrace{z\left ( x+ y \right )}_{\geqq 0}\left ( y^{2}+ zx \right )\geqq 2\left ( x+ y+ z \right )xyz$$

[DOTOANNANG]

Giả sử $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$

Nếu $xyz= 0$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!

Nếu $xyz\neq  0$ thay $\left ( x,\,y,\,z \right )\rightarrow \left ( -\,x,\,-\,y,\,-\,z \right )$ thì bất đẳng thức không đổi nên ta có thể giả sử $xyz\leqq 0$, mà $z= \min \left ( x,\,y,\,z \right )$ nên $xy\geqq 0$. Khi đó:

$$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left \{ \left ( x+ y \right )^{2}+ z^{2} \right \}\left ( x- y \right )^{2}+ \left [ \left ( x- z \right )\left ( y- z \right )+ xy \right ]\left ( x- z \right )\left ( y- z \right )\geqq 0$$

Spoiler

$\sum\limits_{cyc} x^{4}- xyz\left ( \sum\limits_{cyc}x \right )= \left ( \sum\limits_{cyc}x \right )^{2}\left ( \sum\limits_{cyc}x^{2}- \sum\limits_{cyc}xy \right )\geqq 0$

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{^{2}}\geqq 3\,\left ( x^{3}y+ y^{3}z+ z^{3}z \right )\\ x^{3}y+ y^{3}z+ z^{3}z\geqq xyz\left ( x+ y+ z \right ) \end{matrix}\right.$$