Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Với mỗi số tự nhiên $k$, gọi $N(k)$ là số cặp nghiệm nguyên dương của phương trình: $2016x+2017y=k$.

Tính giới hạn sau $L=\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{N(k)}{k}$

[hozymary]

Dễ thấy số nghiệm của PT trên là số nghiệm nguyên dương của phương trình $2016z+t=k$ với $z>t>0$, hay nói cách khác bằng số các số nguyên dương $z$ thỏa $2016z<k<2017z$. Các $z$ thỏa đề bài nằm trong khoảng $\left(\frac{k}{2017}, \frac{k}{2016} \right)$. Tức là

$\begin{align*} N(k)&\approx\left\lfloor\frac{k}{2016}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{k}{2017}\right\rfloor\\ &\approx\frac{k}{2016} - \frac{k}{2017}=\frac{k}{2016\times 2017} \end{align*}$

Xấp xỉ trên có sai số không đáng kể (bé hơn 3) nên khi $k\rightarrow+\infty$ cho ta $L=\frac{1}{2016\times 2017}$