Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm D bất kì chạy trên cạnh BC. M là trung điểm cung AB không chứa C của đường tròn (O). N là trung điểm cung AC không chứa B của đường tròn (O). I1, I2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD. MI1 giao NI2 tại S. Chứng minh rằng S, D, O thẳng hàng.
Bài toán rút ra từ All-Russia Olympiad 2010
Bắt đầu bởi Brown Rabbit, 18-07-2018 - 23:37
#2
Đã gửi 04-08-2018 - 03:33
Ta có:
EI2/EI1 = MI2/MI.NI/NI1
= MI2/MA.NA/NI1 (MN là trung trực AI theo kết quả quen thuộc)
= sinMAI2/sinAI2C.sinBI1A/sinI1AN (định lí sin trong tam giác
= sin(90+ADB/2)/sin(90+ADC/2).sin(90+ADC/2-B)/sin(90+ADB/2-C)
= sinD1:sinD2.cos(B-D1):cos(C-D2) (1)
Gọi E,F,G tương ứng là các giao điểm của {MN, I1I2}, {OM, I1D}, {ON, I2D}
Ta có: G thuộc ON => GA=GC mà G thuộc phân giác và trung trực
Gỉa sử lấy G' là giao của DI2 với (ADC) thì cũng có G'A=G'C từ đó G=G' do 2 đường chỉ cắt nhau tại 1 điểm
Ta có: G thuộc ON => GA=GC mà G thuộc phân giác và trung trực
Gỉa sử lấy G' là giao của DI2 với (ADC) thì cũng có G'A=G'C từ đó G=G' do 2 đường chỉ cắt nhau tại 1 điểm
=> G thuộc (ADC), tương tự F thuộc (ADB)
Lại có: Chú ý D1+D2=90
GI2/GD.FD/FI1 = (AI2/AD).(AD/AI1).(sinI2AG/sinDAG).(sinFAD/sinFAI1)
GI2/GD.FD/FI1 = (AI2/AD).(AD/AI1).(sinI2AG/sinDAG).(sinFAD/sinFAI1)
= (sinD1:cosC/2).(cosB/2:sinD2).(cosC/2:sin(C+D1)).(sin(B+D2):cosB/2)
= sinD1:sinD2.sin(B+D2):sin(C+D1)
= sinD1:sinD2.cos(B-D1):cos(C-D2) (2)
Từ (1)(2) ta có MI2/MI.NI/NI1=GI2/GD.FD/FI1
Vậy EI2/EI1.FI1/FD.GD/GI2=1 nên theo định lí Menelaus đảo thì E, F, G thẳng hàng
Áp dụng định lí Desargues cho 2 tam giác (MON) và (I1DI2) => MI1, OD, NI2 đồng quy hay chính là SD đi qua O (Q.E.D)
- Francis Berdano yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh