Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Tìm số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn: $p^3-2p^2+p+1=3^n$

[Tea Coffee]

$PT:p^{3}-2p^{2}+p+1=3^{n}$

Nhận thấy $p$ có dạng $3k+2$

Với $p$ chẵn thì $p=2$ thỏa mãn

Với $p$ lẻ thì $k$ lẻ. Đặt $k=2t+1$ với $t$ là số tự nhiên

$=>p=6t+5$

Khi đó phương trình trở thành $216t^{3}+468t^{2}+336t+81$ $=3^{n}$ chia hết cho $3^{4}$ là tối đa trong các ước lũy thừa $3$

Thế lần lượt $n=1,2,3,4$ vào tìm $p$

[hozymary]

$216t^3+468t^2+336t+81$ chia hết cho $3^6$ với $t = 54$

 

Ta có $p=2, n = 1$ là một nghiệm của PT. Xét $p>2$, ta thấy $p^3-2p^2+p+1\equiv 1 \ (mod\ 4)\Rightarrow n = 2k$. Ta có

$p(p-1)^2=3^{2k}-1\\ \Rightarrow \frac{p(p-1)^2}{4}=\left(\frac{3^k-1}{2}\right)\left(\frac{3^k+1}{2}\right)$

Dễ thấy với $p$ lẻ thì $\frac{(p-1)^2}{4}, \frac{3^k-1}{2}, \frac{3^k+1}{2}$ đều là số tự nhiên. Mà $\frac{3^k-1}{2}, \frac{3^k+1}{2}$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên một trong hai số chia hết cho $p$

TH₁: $p\mid \frac{3^k+1}{2}$

Đặt $\frac{3^k+1}{2} = pq \ (q \in \mathbb{N})$ thì ta có

$\frac{p(p-1)^2}{4}=(pq-1)pq\\ \Rightarrow p^2-(4q^2+2)p+4q+1=0\\ \Delta =(4q^2+2)^2-4(4q+1)$

Do $\Delta$ phải là số chính phương nên $\Delta \leq (4q^2+1)^2\Rightarrow q\in \left\{1, 2\right\}$

Với $q=1 \Rightarrow p = 1, 5$. Với $q=2$ PT không có nghiệm nguyên

TH₂: $p\mid \frac{3^k-1}{2}$

Chứng minh tương tự, trường hợp này vô nghiệm

Vậy các nghiệm duy nhất của PT là $(p, n) \in \left\{(2, 1), (5, 4)\right\}$