Chủ đề này có 3 trả lời

[doandoan314]

Cho $a, b, c$ là các số không âm. Chứng minh rằng $$(a+b+c)^3\geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 21-07-2018 - 10:30

[DOTOANNANG]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a= \min \left ( a,\,b,\,c \right )$.

Với $b\geqq c$ thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng!

Với $b\leqq c$ thì

$\left ( \sum\limits_{cyc}\,a \right )^{3}\,\,-\,\, 6\sqrt{3}\prod\limits_{cyc}\,\left ( a- b \right )\,\,=\,\, \left ( a+ b+ c \right )^{3}\,\,-\,\, \left ( b+ c \right )^{3}\,\,+\,\, 6\sqrt{3}\,a\,\left ( c- b \right )\,\left ( b+ c- a \right )\,\,+\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( b+ \left ( \sqrt{3}- 2 \right )c \right )^{2}\,\,\,\left ( b+ \left ( 7+ 4\sqrt{3} \right )c \right )\,\,\geqq\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0$

[viet9a14124869]

Giả sử c = min {a;b;c} . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : 

$$[6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)]^2 \leq 108(a-b)^2.a^2.b^2=27.(a-b)^2.2ab.2ab\leq [(a-b)^2+2ab+2ab]^3=(a+b)^6\leq (a+b+c)^6$$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh , dấu bằng xảy ra khi c=0 , $a=(2+\sqrt{3}).b$ và các hoán vị .

[DOTOANNANG]

[mạnh hơn!]

$$a^{3}+ b^{3}+ c^{3}- 3\,abc\geqq \sqrt{9+ 6\sqrt{3}}\prod\limits_{cyc} \left ( a- b \right )\,\,\Leftrightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\frac{1}{\left ( a- b \right )^{2}}\geqq \frac{9+ 6\sqrt{3}}{\left ( \sum\limits_{cyc}a \right )^{2}}$$

Đã có ở đây: https://diendantoanh...-a2geq-96sqrt3/