Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhdatqv2003]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho (n-2)! không chia hết cho $n^2$

[Hr MiSu]

Với $p$ là số nguyên tố

Xét $n=p$

Xong xét $n=p^{k}$

Xong xét $n$ tổng quát xem  ý tưởng đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 21-07-2018 - 04:46

[DOTOANNANG]

Giả sử $n= pqr$ với $p< q$ đều là các số nguyên tố nên $p\geqq 2,\,q\geqq 3,\,r\geqq 2$. Khi đó:

$$n- 2= pqr- 2= \left ( p- 2 \right )\left ( qr- 1 \right )+ 2\left ( qr- 6 \right )+ p+ 8> p$$

$$n- 2= pqr- 2= \left ( q- 3 \right )\left ( pr- 1 \right )+ 3\left ( pq- 4 \right )+ q+ 7> q$$

$$n- 2= pqr- 2= pr\left ( q- 3 \right )+ 2\left ( pr- 4 \right )+ pr+ 6> pr$$

$$n- 2= pqr- 2= qr\left ( p- 2 \right )+ qr- 6+ qr+ 4> qr$$

Để ý thấy rằng $p,\,q,\,pr,\,qr$ rõ ràng phân biệt với nhau mà tích của chúng ta chia hết cho $\left ( n- 2 \right )!$.

Do đó $n^{2}= p.\,q.\,pr.\,qr\,\,\vdots \,\,\left ( n- 2 \right )!$ trong trường hợp này!

Dẫn đến $n= pq$ với $p,\,q$ là $2$ số nguyên tố phân biệt hoặc  $n= p^{k}$ với $p$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp 1: Ta giả sử $2< p< q$ hay $p\geqq 3,\,q\geqq 5$. Suy ra:

$$n- 2= pq- 2= p\left ( q- 4 \right )- 3+ 4\,p+ 1> 4\,p$$

$$n- 2= pq- 2= \left ( p- 2 \right )q- 5+ 2\,q+ 3> 2\,q$$

Vì $p,\,q,\,2\,p,\,2\,q$ đều là các số phân biệt thuộc tập $\left \{ 1,\,2,\,3,\,...,\,n- 2 \right \}$ nên nhận thấy $n^{2}= p^{2}q^{2}\,\,\vdots \,\,\left ( n- 2 \right )!$, kết luận rằng $n= 2\,q$ với các số nguyên tố $q\geqq 3$ thì $\frac{n^{2}}{\left ( n- 2 \right )!} \notin \mathbb{N}$. Đúng vậy do $n- 2< 2\,q$.

 

Trường hợp 2: Chúng ta đều nhận ra $p,\,2\,p,\,3\,p,\,...,\,\left ( p^{k- 1}- 1 \right )p$ tất cả đều nằm trong tập $\left \{ 1,\,2,\,3,\,...,\,n- 2 \right \}$. Nếu $p^{k- 1}- 1\geqq 2\,k$ thì ắt hẳn có ít nhất $2\,k$ nhân tử của $p$ nằm trong tập $\left \{ 1,\,2,\,3,\,...,\,n- 2 \right \}$. Từ đó $n^{2}= p^{2\,k}\,\,\vdots \,\,\left ( n- 2 \right )! \Leftrightarrow p^{k- 1}- 1< 2\,k$. Nếu $k\geqq 5$ thì $p^{k- 1}- 1\geqq 2^{k- 1}- 1\geqq 2\,k$, điều này có thể chứng minh được thông qua phương pháp quy nạp! Còn $k\leqq 4$ thì quá dễ là thay chúng vào, thế là với $k= 2$, dẫn tới $p- 1< 4$ hay $p= 2$ thì $p= 3,\,n= 3^{2}$ thỏa, $k= 3$, dẫn tới $p^{2}- 1< 6$ hay $p= 2,\,n= 2^{3}$ cũng thỏa!

 

Tóm lại các số tự nhiên $n$ cần tìm có dạng $n= p,\,2\,p$ với $p$ là số nguyên tố hoặc $n= 8,\,9$.

 

[thanhdatqv2003]

Giả sử $n= pqr$ với $p< q$ đều là các số nguyên tố nên $p\geqq 2,\,q\geqq 3,\,r\geqq 2$. Khi đó:

$$n- 2= pqr- 2= \left ( p- 2 \right )\left ( qr- 1 \right )+ 2\left ( qr- 6 \right )+ p+ 8> p$$

$$n- 2= pqr- 2= \left ( q- 3 \right )\left ( pr- 1 \right )+ 3\left ( pq- 4 \right )+ q+ 7> q$$

$$n- 2= pqr- 2= pr\left ( q- 3 \right )+ 2\left ( pr- 4 \right )+ pr+ 6> pr$$

$$n- 2= pqr- 2= qr\left ( p- 2 \right )+ qr- 6+ qr+ 4> qr$$

Để ý thấy rằng $p,\,q,\,pr,\,qr$ rõ ràng phân biệt với nhau mà tích của chúng ta chia hết cho $\left ( n- 2 \right )!$.

Do đó $n^{2}= p.\,q.\,pr.\,qr\,\,\vdots \,\,\left ( n- 2 \right )!$ trong trường hợp này!

Dẫn đến $n= pq$ với $p,\,q$ là $2$ số nguyên tố phân biệt hoặc  $n= p^{k}$ với $p$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp 1: Ta giả sử $2< p< q$ hay $p\geqq 3,\,q\geqq 5$. Suy ra:

$$n- 2= pq- 2= p\left ( q- 4 \right )- 3+ 4\,p+ 1> 4\,p$$

$$n- 2= pq- 2= \left ( p- 2 \right )q- 5+ 2\,q+ 3> 2\,q$$

Vì $p,\,q,\,2\,p,\,2\,q$ đều là các số phân biệt thuộc tập $\left \{ 1,\,2,\,3,\,...,\,n- 2 \right \}$ nên nhận thấy $n^{2}= p^{2}q^{2}\,\,\vdots \,\,\left ( n- 2 \right )!$, kết luận rằng $n= 2\,q$ với các số nguyên tố $q\geqq 3$ thì $\frac{n^{2}}{\left ( n- 2 \right )!} \notin \mathbb{N}$. Đúng vậy do $n- 2< 2\,q$.

 

Trường hợp 2: Chúng ta đều nhận ra $p,\,2\,p,\,3\,p,\,...,\,\left ( p^{k- 1}- 1 \right )p$ tất cả đều nằm trong tập $\left \{ 1,\,2,\,3,\,...,\,n- 2 \right \}$. Nếu $p^{k- 1}- 1\geqq 2\,k$ thì ắt hẳn có ít nhất $2\,k$ nhân tử của $p$ nằm trong tập $\left \{ 1,\,2,\,3,\,...,\,n- 2 \right \}$. Từ đó $n^{2}= p^{2\,k}\,\,\vdots \,\,\left ( n- 2 \right )! \Leftrightarrow p^{k- 1}- 1< 2\,k$. Nếu $k\geqq 5$ thì $p^{k- 1}- 1\geqq 2^{k- 1}- 1\geqq 2\,k$, điều này có thể chứng minh được thông qua phương pháp quy nạp! Còn $k\leqq 4$ thì quá dễ là thay chúng vào, thế là với $k= 2$, dẫn tới $p- 1< 4$ hay $p= 2$ thì $p= 3,\,n= 3^{2}$ thỏa, $k= 3$, dẫn tới $p^{2}- 1< 6$ hay $p= 2,\,n= 2^{3}$ cũng thỏa!

 

Tóm lại các số tự nhiên $n$ cần tìm có dạng $n= p,\,2\,p$ với $p$ là số nguyên tố hoặc $n= 8,\,9$.

Đoạn đầu tiên có thể làm gọn hơn ạ !!!

$n-2=pqr-2> pqr-p=p(qr-1)> p$ .     tt với các cái khác .