Chủ đề này có 2 trả lời

[doandoan314]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{4a^2-b^2-c^2}{a(b+c)}+\frac{4b^2-c^2-a^2}{b(c-a)}+\frac{4c^2-a^2-b^2}{c(a+b)}\leq 3$$

[Unrruly Kid]

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

$\sum [1-\frac{4a^{2}-b^{2}-c^{2}}{a(b+c)}]\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{b^{2}+c^{2}-4a^{2}+a(b+c)}{a(b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(b^{2}-a^{2})+a(b-a)+(c^{2}-a^{2})+a(c-a)}{a(b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(b-a)(2a+b)+(c-a)(2a+c)}{a(b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(b-a)(2a+b)}{a(b+c)}+\sum \frac{(a-b)(2b+a)}{b(c+a)}\geq 0$

$\Leftrightarrow c(a+b)(a-b)^{2}(bc+ca-ab)\geq 0$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó $ca+ab-bc\geq 0$. Vậy, ta cần chứng minh

$b(c+a)(c-a)^{2}(ab+bc+-ca)+c(a+b)(a-b)^{2}(bc+ca-ab)\geq 0$.

$\Leftrightarrow b(c+a)(a-c)^{2}(ab+bc-ca)\geqslant c(a+b)(a-b)^{2}(ab-bc-ca)$. Với trường hợp$ab-bc-ca>0$ bất đẳng thức trở thành $ab+bc-ca>ab-bc-ca\Rightarrow (a-c)^{2}\geq (a-b)^{2}\Rightarrow b(c+a)\geq c(a+b)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[DOTOANNANG]

$$\Leftrightarrow \frac{2\,c^{2}\left ( c^{2}+ ab \right )\left ( \sum\limits_{cyc}c^{2}- \sum\limits_{cyc}ab \right )+ \left [ \underbrace{\frac{\left ( a+ c \right )\left ( a^{2}+ c^{2} \right )+ abc}{a- c}+ \frac{\left ( b+ c \right )\left ( b^{2}+ c^{2} \right )+ abc}{b- c}}_{c= \min \left \{ a,\,b,\,c \right \}} \right ]\left ( a- c \right )^{2}\left ( b- c \right )^{2}}{\prod\limits_{cyc}c\left ( a+ b \right ) }\geqq 0$$