Chủ đề này có 6 trả lời

[doandoan314]

Cho số thực $a, b, c$ . Chứng minh: $$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$

[Unrruly Kid]

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

$\sum \sqrt{5a^{2}+4bc}-2\sum \sqrt{ab}\geqslant \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Ta có $\sum \sqrt{5a^{2}+4bc}-2\sum \sqrt{ab}=\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}$

Sử dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}=\sum\frac{5a^{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{2+3}(\sqrt{\frac{5a^{2}+4bc}{3}+2bc)}}= \sum\frac{\sqrt{3}a^{2}}{\sqrt{a^{2}+2bc}}\geq \sum\frac{\sqrt{3}a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Chứng minh hoàn tất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 22-07-2018 - 11:36

[doandoan314]

Ta có $\sum \sqrt{5a^{2}+4bc}-2\sum \sqrt{ab}=\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}$

Mình không hiểu chỗ này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 22-07-2018 - 08:43

[Unrruly Kid]

Mình không hiểu chỗ này.

Lượng liên hợp, hằng đẳng thức a^2-b^2=(a+b)(a-b)

[doandoan314]

$\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}=\sum\frac{5a^{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{2+3}(\frac{5a^{2}+4bc}{3}+2bc)}$

Mình cũng không hiểu cách biến đổi chỗ này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 22-07-2018 - 11:25

[Unrruly Kid]

Mình cũng không hiểu cách biến đổi chỗ này.

Mình vừa mới sửa, đoạn đó tương đương thôi mà

[doandoan314]

Mình vừa mới sửa, đoạn đó tương đương thôi mà

Nhân tử mẫu cho $\sqrt{3}$ đúng không?