Cho số thực $a, b, c$ . Chứng minh: $$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$
$\sum \sqrt{5a^2+4bc}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
#1
Đã gửi 21-07-2018 - 11:19
- thien huu và BurakkuYokuro11 thích
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
#2
Đã gửi 21-07-2018 - 12:28
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
$\sum \sqrt{5a^{2}+4bc}-2\sum \sqrt{ab}\geqslant \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Ta có $\sum \sqrt{5a^{2}+4bc}-2\sum \sqrt{ab}=\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}$
Sử dụng BĐT Cauchy, ta có:
$\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}=\sum\frac{5a^{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{2+3}(\sqrt{\frac{5a^{2}+4bc}{3}+2bc)}}= \sum\frac{\sqrt{3}a^{2}}{\sqrt{a^{2}+2bc}}\geq \sum\frac{\sqrt{3}a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Chứng minh hoàn tất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 22-07-2018 - 11:36
- Tea Coffee, thien huu và doandoan314 thích
#3
Đã gửi 22-07-2018 - 08:42
Mình không hiểu chỗ này.Ta có $\sum \sqrt{5a^{2}+4bc}-2\sum \sqrt{ab}=\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 22-07-2018 - 08:43
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
#4
Đã gửi 22-07-2018 - 09:11
Mình không hiểu chỗ này.
Lượng liên hợp, hằng đẳng thức a^2-b^2=(a+b)(a-b)
- thien huu và doandoan314 thích
#5
Đã gửi 22-07-2018 - 11:25
$\sum\frac{5a^{2}}{\sqrt{5a^{2}+4bc}+2\sqrt{ab}}=\sum\frac{5a^{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{2+3}(\frac{5a^{2}+4bc}{3}+2bc)}$
Mình cũng không hiểu cách biến đổi chỗ này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 22-07-2018 - 11:25
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
#6
Đã gửi 22-07-2018 - 11:37
Mình cũng không hiểu cách biến đổi chỗ này.
Mình vừa mới sửa, đoạn đó tương đương thôi mà
- thien huu và doandoan314 thích
#7
Đã gửi 22-07-2018 - 13:43
Nhân tử mẫu cho $\sqrt{3}$ đúng không?Mình vừa mới sửa, đoạn đó tương đương thôi mà
Không phải ai cũng có khả năng đoạt giải Nobel hay Fields nhưng ai cũng có thể sống để cuộc sống của mình có ý nghĩa.- GS NGÔ BẢO CHÂU
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh