2 replies to this topic

[ThinhThinh123]

Nguồn: Toán chuyên Đà Nẵng 2018-2019

Attached Images

• 

[anhquannbk]

Nguồn: Toán chuyên Đà Nẵng 2018-2019

Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Dễ thấy $O, O'$ đối xứng nhau qua $BC$ và $HO' \perp EF$

Ta có $HAOO'$ là hình bình hành.

Suy ra $AO \perp EF$.

Ta có: $AH.AD=AB.AE=AC.AF$

Mà tứ giác $HKDO$ nội tiếp nên $AK.AO=AH.AD=AB.AE=AC.AF$ nên các tứ giác $OBKE, OCKF$ nội tiếp.

Từ đó $\angle OKF= \angle OCA, \angle OKE=\angle OBA$

$\angle EKF= \angle OKF+\angle OKE =\angle OBA+\angle OCA=\angle BAO+\angle CAO= \angle BAC=\angle EAF$

Suy ra $A,K$ đối xứng nhau qua $EF$ hay $EF$ là trung trực $AK$.

Edited by anhquannbk, 22-07-2018 - 20:17.

[ThinhThinh123]

Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Dễ thấy $O, O'$ đối xứng nhau qua $BC$ và $HO' \perp EF$

Ta có $HAOO'$ là hình bình hành.

Suy ra $AO \perp EF$.

Ta có: $AH.AD=AB.AE=AC.AF$

Mà tứ giác $HKDO$ nội tiếp nên $AK.AO=AH.AD=AB.AE=AC.AF$ nên các tứ giác $OBKE, OCKF$ nội tiếp.

Từ đó $\angle OKF= \angle OCA, \angle OKE=\angle OBA$

$\angle EKF= \angle OKF+\angle OKE =\angle OBA+\angle OCA=\angle BAO+\angle CAO= \angle BAC=\angle EAF$

Suy ra $A,K$ đối xứng nhau qua $EF$ hay $EF$ là trung trực $AK$.

Em cảm ơn nhiều ạ!