Nguồn: Toán chuyên Đà Nẵng 2018-2019
Chứng minh EF là đường trung trực của AK
Bắt đầu bởi ThinhThinh123, 22-07-2018 - 09:23
#2
Đã gửi 22-07-2018 - 20:16
anhquannbk
-
- Thành viên
-
- 477 Bài viết
Sĩ quan
Nguồn: Toán chuyên Đà Nẵng 2018-2019
Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Dễ thấy $O, O'$ đối xứng nhau qua $BC$ và $HO' \perp EF$
Ta có $HAOO'$ là hình bình hành.
Suy ra $AO \perp EF$.
Ta có: $AH.AD=AB.AE=AC.AF$
Mà tứ giác $HKDO$ nội tiếp nên $AK.AO=AH.AD=AB.AE=AC.AF$ nên các tứ giác $OBKE, OCKF$ nội tiếp.
Từ đó $\angle OKF= \angle OCA, \angle OKE=\angle OBA$
$\angle EKF= \angle OKF+\angle OKE =\angle OBA+\angle OCA=\angle BAO+\angle CAO= \angle BAC=\angle EAF$
Suy ra $A,K$ đối xứng nhau qua $EF$ hay $EF$ là trung trực $AK$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 22-07-2018 - 20:17
- ThinhThinh123 yêu thích
#3
Đã gửi 23-07-2018 - 06:59
ThinhThinh123
-
- Thành viên
-
- 138 Bài viết
Trung sĩ
Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Dễ thấy $O, O'$ đối xứng nhau qua $BC$ và $HO' \perp EF$
Ta có $HAOO'$ là hình bình hành.
Suy ra $AO \perp EF$.
Ta có: $AH.AD=AB.AE=AC.AF$
Mà tứ giác $HKDO$ nội tiếp nên $AK.AO=AH.AD=AB.AE=AC.AF$ nên các tứ giác $OBKE, OCKF$ nội tiếp.
Từ đó $\angle OKF= \angle OCA, \angle OKE=\angle OBA$
$\angle EKF= \angle OKF+\angle OKE =\angle OBA+\angle OCA=\angle BAO+\angle CAO= \angle BAC=\angle EAF$
Suy ra $A,K$ đối xứng nhau qua $EF$ hay $EF$ là trung trực $AK$.
Em cảm ơn nhiều ạ!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
