Cho $A,B$ là hai ma trận đối xứng cấp $n$. Chứng minh rằng $trace(ABAB) \le trace (A^2B^2)$
$trace(ABAB) \le trace(A^2B^2)$
#1
Đã gửi 23-07-2018 - 08:49
#2
Đã gửi 04-08-2018 - 21:39
Thực ra ma trận cũng là 1 dạng hệ thống các thành phân với quy ước nhân công được định nghĩa rõ rạng .
Nếu đọc liên quan đến Tensor sẽ rõ nó nhân tính toán với hệ thống sẽ rõ .
Nên hiểu dưới dạng với mỗi thành phần của ma trận $a_{ij}e_{i}e_{j}$ với $ e_{i}e_{j}$ là cơ sở điat
Tích vô hướng trên của 2 số hạng =1 khi có cùng cơ sở điat và =0 nếu có 1 chỉ số khác 0 .
Thì Tích vô hướng giữa 2 ma trận $ \left \langle A; B \right \rangle =AB^{T}=tr(AB) $
Ta có $ \left \langle A;BC \right \rangle=\left \langle C^{T}A;B \right \rangle $
Mặt khác do A và B là các ma trận đối xứng
Từ đó suy ra $ tr(ABAB-A^{2}B^{2})=tr(A(AB-BA)B) =\left \langle AB-BA;AB \right \rangle \geqslant 0 $
Đặt ma trận C=AB suy ra TÍch vô hướng trên tương đương với$ \sum_{i,j}^{n} c^{2}_{ij}-c_{ij}c_{ji} \geq 0$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy quen thuộc cho$ \sum_{i,j}^{n} c^{2}_{ij} \geq \sum_{ij}^{n}c_{ij}c_{ji} $(Đpcm) .
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh