Chủ đề này có 1 trả lời

[anhquannbk]

Cho $A,B$ là hai ma trận đối xứng cấp $n$. Chứng minh rằng $trace(ABAB) \le trace (A^2B^2)$

[LangTu Mua Bui]

Thực ra ma trận cũng là 1 dạng hệ thống các thành phân với quy ước nhân công được định nghĩa rõ rạng .

Nếu đọc liên quan đến Tensor sẽ rõ nó nhân tính toán với hệ thống sẽ rõ .

Nên hiểu dưới dạng với mỗi thành phần của ma trận  $a_{ij}e_{i}e_{j}$ với $ e_{i}e_{j}$ là cơ sở điat 

Tích vô hướng trên của 2 số hạng =1 khi có cùng cơ sở điat và =0 nếu có 1 chỉ số khác 0 .

Thì Tích vô hướng giữa 2 ma trận $ \left \langle A; B  \right \rangle =AB^{T}=tr(AB) $ 

Ta có $ \left \langle A;BC \right \rangle=\left \langle C^{T}A;B \right \rangle  $
Mặt khác do A và B là các ma trận đối xứng 

Từ đó suy ra  $  tr(ABAB-A^{2}B^{2})=tr(A(AB-BA)B) =\left \langle  AB-BA;AB   \right \rangle \geqslant 0   $

Đặt ma trận C=AB suy ra TÍch vô hướng trên tương đương với$ \sum_{i,j}^{n} c^{2}_{ij}-c_{ij}c_{ji} \geq  0$ 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy quen thuộc cho$  \sum_{i,j}^{n}  c^{2}_{ij}  \geq \sum_{ij}^{n}c_{ij}c_{ji} $(Đpcm) .