Chứng minh: Rõ ràng BĐT với $n=2$, nếu BĐT đúng với $n$ số thì cũng đúng với $2n$ số vì
$$a_{1}+a_{2}+...+a_{2n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a_{n+2}...a_{2n}}\geq 2n\sqrt[2n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$$ (không biết sách in có sai không chứ theo mình nghĩ chỗ này phải là $2n\sqrt[2n]{a_{1}a_{2}...a_{2n}}$.)
Do đó BĐT cũng đúng khi n bằng một lũy thừa của 2. Mặt khác nếu BĐT đúng với $n$ số thì cũng đúng với $n-1$ số, thật vậy ta chỉ cần chọn
$$a_{n}=\frac{s}{n-1}, s=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}$$
=> $s+\frac{s}{n-1}\geq n\sqrt[n]{\frac{a_{1}a_{2}...a_{n-1}s}{n-1}}$
=>$s\geq (n-1)\sqrt[n-1]{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ (mình không hiểu chỗ này)
Từ 2 nhận xét trên ta có đpcm. Đẳng thứ xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandoan314: 23-07-2018 - 17:53
