Chủ đề này có 9 trả lời

[Kim Shiny]

1.Cho a,b,c là các số thực bất kì.Chứng minh rằng :

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (ab+bc+ca-1)^{2}$

2.Cho a,b,c >1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$.Chứng minh rằng :

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}.$

3.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1.$

Chứng minh rằng :$a+b+c\geq ab+bc+ca$

4.Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{3}$

Mọi người giúp mình nhé, mình cần gấp lắm ạ   

Thanks!!!!

[Chickey]

3.Ta có:

$\frac{1}{a+b+1}=\frac{a+b+c^{2}}{(a+b+1).(a+b+c^{2})}\leq \frac{a+b+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Tương tự ta cũng có:

$\frac{1}{b+c+1}\leq \frac{b+c+a^{2}}{(a+b+c)^{2}} ; \frac{1}{c+a+1}\leq \frac{c+a+b^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Suy ra

$\frac{2a+2b+2c+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq 1$

<=> 2a+2b+2c+a²+b²+c² $\geq$ (a+b+c)²

<=> 2a+2b+2c $\geq$ 2ab+2bc+2ca

<=> a+b+c $\geq$ ab+bc+ca (đpcm)

Nhờ mọi m.n kiểm tra giùm ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chickey: 25-07-2018 - 09:54

[Kim Shiny]

3.Ta có:

$\frac{1}{a+b+1}=\frac{a+b+c^{2}}{(a+b+1).(a+b+c^{2})}\leq \frac{a+b+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

 

mk nghĩ đoạn này chưa chặt chẽ ví ko chắc chắn 

với lại bài này chắc là sử dụng BĐT bunyakovsky 

[Chickey]

mk nghĩ đoạn này chưa chặt chẽ ví ko chắc chắn 

với lại bài này chắc là sử dụng BĐT bunyakovsky 

Không đâu mình âm thầm sử dụng bu-nhi-a-cốp-xờ-ki đó

$(a+b+1).(a+b+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

Sau đó đổi dấu BĐT vì ở dưới mẫu

[Unrruly Kid]

1) $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)=(a+b+c-ab-bc-ca)^{2}+(ab+bc+ca-1)^{2}\geq (ab+bc+ca-1)^{2}$(Điều phải chứng minh)

[BurakkuYokuro11]

 

4.Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{3}$

Mọi người giúp mình nhé, mình cần gấp lắm ạ   

Thanks!!!!

$\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)} = \sum \frac{a^3}{(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)}$

$\leq \sum \frac{a^3}{(a^2+ab+ac)^2}$

$=\sum \frac{a}{(a+b+c)^2}$

$=\frac{1}{3}$ (Vì $a+b+c=3$)

[Unrruly Kid]

2) Viết lại điều kiện giả thiết dưới dạng

$1=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

$a+b+c=(a+b+c)(\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c})\geq (\sqrt{a}.\sqrt{\frac{a-1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{b-1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{c-1}{c}})$

$=(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1})^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}$

[Kim Shiny]

Không đâu mình âm thầm sử dụng bu-nhi-a-cốp-xờ-ki đó

$(a+b+1).(a+b+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

Sau đó đổi dấu BĐT vì ở dưới mẫu

vậy mà mk ko nhận ra

thanks bn nhiều nha

[Kim Shiny]

1) $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)=(a+b+c-ab-bc-ca)^{2}+(ab+bc+ca-1)^{2}\geq (ab+bc+ca-1)^{2}$(Điều phải chứng minh)

bạn giải rõ ra đc ko ạ

[niemvuitoan]

Cái đó sử dụng phần mềm bđt sử 4 giây là oke