Chủ đề này có 1 trả lời

[nganha2001]

Cho hàm số $f\left ( x \right )= \frac{x-m^{2}+m}{x+1}$ với m là tham số thực.

Tìm tất cả các giá trị tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left ( x \right )= \left | f\left ( x \right ) \right |$ trên đoạn [1;2] đạt giá trị nhỏ nhất.

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $f\left ( x \right )= \frac{x-m^{2}+m}{x+1}$ với m là tham số thực.

Tìm tất cả các giá trị tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left ( x \right )= \left | f\left ( x \right ) \right |$ trên đoạn [1;2] đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt $m^2-m=t\Rightarrow t=\left ( m-\frac{1}{2} \right )^2-\frac{1}{4}\geqslant -\frac{1}{4}$

Và $g(x)=\frac{|x-(m^2-m)|}{|x+1|}=\frac{|x-t|}{|x+1|}$

Trên đoạn $[1;2]$, ta có $g(x)=\frac{|x-t|}{x+1}$ là một hàm liên tục (trên đoạn đang xét)

Xét các trường hợp :

1) $t\in \left [ -\frac{1}{4};1 \right )$ :

    Khi đó $g(x)=\frac{|x-t|}{x+1}=\frac{x-t}{x+1}\Rightarrow g'(x)=\frac{1+t}{(x+1)^2}> 0$ (vì $t\geqslant -\frac{1}{4}$), $\forall x\in [1;2]$

    $\Rightarrow$ GTLN của hàm $g(x)$ trên đoạn $[1;2]$ là $g(2)=\frac{2-t}{3}\geqslant \frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$ (1)

2) $t\in \left [ 1;2 \right ]$ :

    Khi đó :

    $g(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{t-x}{x+1}\ neu\ x\in [1;t]\\\frac{x-t}{x+1}\ neu\ x\in(t;2] \end{matrix}\right.\Rightarrow g'(x)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1+t}{(x+1)^2}< 0\ neu\ x\in [1;t)\\\frac{1+t}{(x+1)^2}> 0\ neu\ x\in(t;2] \end{matrix}\right.$

    $\Rightarrow$ GTLN của hàm $g(x)$ trên đoạn $[1;2]$ là $\max\left \{ g(1);g(2) \right \}=\max\left \{ \frac{t-1}{2};\frac{2-t}{3} \right \}$

    Nhận xét rằng $g(1)=g(2)\Leftrightarrow \frac{t-1}{2}=\frac{2-t}{3}\Leftrightarrow t=\frac{7}{5}$

    Vậy :

    + Khi $t=\frac{7}{5}\Rightarrow$ GTLN của hàm $g(x)$ trên $[1;2]$ là $g(1)=g(2)=\frac{1}{5}$ (2)

    + Khi $t\in \left [ 1;\frac{7}{5} \right )\Rightarrow$ GTLN của $g(x)$ trên $[1;2]$ là $g(2)=\frac{2-t}{3}> \frac{2-\frac{7}{5}}{3}=\frac{1}{5}$ (3)

    + Khi $t\in \left ( \frac{7}{5};2 \right ]\Rightarrow$ GTLN của $g(x)$ trên $[1;2]$ là $g(1)=\frac{t-1}{2}> \frac{\frac{7}{5}-1}{2}=\frac{1}{5}$ (4)

3) $t\in (2;+\infty)$ :

    Khi đó $g(x)=\frac{|x-t|}{x+1}=\frac{t-x}{x+1}\Rightarrow g'(x)=-\frac{1+t}{(x+1)^2}< 0$, $\forall x\in [1;2]$

    $\Rightarrow$ GTLN của hàm $g(x)$ trên đoạn $[1;2]$ là $g(1)=\frac{t-1}{2}\geqslant \frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$ (5)

 

Từ (1),(2),(3),(4),(5) $\Rightarrow$ GTLN của hàm $g(x)$ trên đoạn $[1;2]$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{5}\Leftrightarrow t=\frac{7}{5}$

    $\Leftrightarrow m\in\left \{ \frac{5-\sqrt{165}}{10};\frac{5+\sqrt{165}}{10} \right \}$.