Chủ đề này có 2 trả lời

[doandoan314]

Cho $x, y, z$ là số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$. Tìm GTNN: $$P=\frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}+\frac{z^2x^2}{y(z^2+x^2)}+\frac{x^2y^2}{z(x^2+y^2)}$$

[Unrruly Kid]

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\sum \frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}})}=\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}$

Ta chứng minh $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}=\frac{a}{1-a^{2}}$. Tới đây tiếp tuyến 1 nốt nhạc

[BurakkuYokuro11]

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\sum \frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}})}=\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}$

Ta chứng minh $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}=\frac{a}{1-a^{2}}$. Tới đây tiếp tuyến 1 nốt nhạc

Giải tiếp  

$2a^2(1-a^2)(1-a^2) \leq \frac{(1-a^2+1-a^2+2a^2)^3}{27}\doteq \frac{8}{27}$

$=> a(1-a^2)\leq \frac{2}{\sqrt{27}}$

$\sum \frac{a}{1-a^2}= \sum \frac{a^2}{a(1-a^2)}\geq \frac{\sqrt{27}.a^2}{2}\sum =\frac{\sqrt{27}}{2}$