Chủ đề này có 11 trả lời

[ntbt273]

Cho a,b,c>0 a+b+c=3 . Tìm min:

A=$\sum \frac{a}{b^{4}+16}$

[BurakkuYokuro11]

Cho a,b,c>0 a+b+c=3 . Tìm min:

A=$\sum \frac{a}{b^{4}+16}$

Mình nghĩ đề là : $A=\sum \frac{a}{b^3+16}$ với a,b,c>0 và a+b+c=3

(ĐỀ THI HSG HÀ NỘI NĂM 2017-2018)

[ntbt273]

Mình nghĩ đề là : $A=\sum \frac{a}{b^3+16}$ với a,b,c>0 và a+b+c=3

(ĐỀ THI HSG HÀ NỘI NĂM 2017-2018)

Ko đâu bạn :v Đề này ở toán tuổi trẻ  

[Unrruly Kid]

Ko đâu bạn :v Đề này ở toán tuổi trẻ

Số bao nhiêu vậy, á à m là ny thằng gay Lê Phú Qúy Mùi :v Haha hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 26-07-2018 - 21:51

[ntbt273]

Quên số nên ko có lời giải, cho nên mới nhờ anh em giúp  

[ThinhThinh123]

Vì $ a,b,c> 0; a+b+c=3 => a\leq 1; b\leq 1; c\leq 1 => b-1\leq 0$

 

Ta có:

 

$ \frac{a}{b^{4}+16}+\frac{b}{c^{4}+16}+\frac{c}{a^{4}+16}$

 

= $ \frac{a^{2}}{ab^{4}+16}+\frac{b^{2}}{bc^{4}+16}+\frac{c^{2}}{ca^{4}+16}$

 

$ \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{4}+16a+bc^{4}+16b+ca^{4}+16c}$

 

     = $  \frac{9}{(ab^{4}-a)+(bc^{4}-b)+(ca^{4}-c)+17(a+b+c)}$

 

     = $  \frac{9}{a(b^{4}-1)+b(c^{4}-1)+c(a^{4}-1)+17(a+b+c)}$

 

     = $  \frac{9}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}$

 

Vì  $b-1\leq 0 =>  {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)}\leq 0$

Tương tự chứng minh...

=>$ \sum {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)}\leq 17(a+b+c)$

 

Suy ra:

 

  $ \frac{(a+b+c)^{2}}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{17(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{17}= \frac{3}{17}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Vậy $MinA=\frac{3}{17}$  khi a=b=c=1

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 30-07-2018 - 13:33

[toanhoc2017]

Vì a,b,c> 0 a+b+c=3 => a\leq 1; b\leq 1; c\leq 1 => b-1\leq 0
Ta có:
\frac{a}{b^{4}+16}+\frac{b}{c^{4}+16}+\frac{c}{a^{4}+16}
= \frac{a^{2}}{ab^{4}+16}+\frac{b^{2}}{bc^{4}+16}+\frac{c^{2}}{ca^{4}+16}
= \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{4}+16a+bc^{4}+16b+ca^{4}+16c}
= \frac{9}{(ab^{4}-a)+(bc^{4}-b)+(ca^{4}-c)+17(a+b+c)}
= \frac{9}{a(b^{4}-1)+b(c^{4}-1)+c(a^{4}-1)+17(a+b+c)}
= \frac{9}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}
Vì b-1\leq 0 => {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}\leq 17(a+b+c)
Suy ra:
= \frac{(a+b+c)^{2}}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{17(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{17}=\frac{3}{17}
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1
Vậy $MinA=\frac{3}{17}$ khi a=b=c=1

[ThinhThinh123]

Vì $ a,b,c> 0; a+b+c=3 => a\leq 1; b\leq 1; c\leq 1 => b-1\leq 0$

 

Ta có:

 

$ \frac{a}{b^{4}+16}+\frac{b}{c^{4}+16}+\frac{c}{a^{4}+16}$

 

= $ \frac{a^{2}}{ab^{4}+16}+\frac{b^{2}}{bc^{4}+16}+\frac{c^{2}}{ca^{4}+16}$

 

$ \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{4}+16a+bc^{4}+16b+ca^{4}+16c}$

 

     = $  \frac{9}{(ab^{4}-a)+(bc^{4}-b)+(ca^{4}-c)+17(a+b+c)}$

 

     = $  \frac{9}{a(b^{4}-1)+b(c^{4}-1)+c(a^{4}-1)+17(a+b+c)}$

 

     = $  \frac{9}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}$

 

Vì  $b-1\leq 0 =>  {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)}\leq 0$

Tương tự chứng minh...

=>$ \sum {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)}\leq 17(a+b+c)$

 

Suy ra:

 

  $ \frac{(a+b+c)^{2}}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{17(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{17}= \frac{3}{17}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Vậy $MinA=\frac{3}{17}$  khi a=b=c=1

[ntbt273]

 

Vì $ a,b,c> 0; a+b+c=3 => a\leq 1; b\leq 1; c\leq 1 => b-1\leq 0$

 

Ta có:

 

$ \frac{a}{b^{4}+16}+\frac{b}{c^{4}+16}+\frac{c}{a^{4}+16}$

 

= $ \frac{a^{2}}{ab^{4}+16}+\frac{b^{2}}{bc^{4}+16}+\frac{c^{2}}{ca^{4}+16}$

 

$ \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{4}+16a+bc^{4}+16b+ca^{4}+16c}$

 

     = $  \frac{9}{(ab^{4}-a)+(bc^{4}-b)+(ca^{4}-c)+17(a+b+c)}$

 

     = $  \frac{9}{a(b^{4}-1)+b(c^{4}-1)+c(a^{4}-1)+17(a+b+c)}$

 

     = $  \frac{9}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}$

 

Vì  $b-1\leq 0 =>  {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)}\leq 0$

Tương tự chứng minh...

=>$ \sum {a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)}\leq 17(a+b+c)$

 

Suy ra:

 

  $ \frac{(a+b+c)^{2}}{a(b^{2}+1)(b+1)(b-1)+b(c^{2}+1)(c+1)(c-1)+c(a^{2}+1)(a+1)(a-1)+17(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{17(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{17}= \frac{3}{17}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Vậy $MinA=\frac{3}{17}$  khi a=b=c=1

 

Cho hỏi dòng đầu ạ, tại sao lại có thể suy ra được như vậy :

a,b,c>0 và a+b+c=3 => a $\leq 1$ ; b$\leq 1$ ; c$\leq 1$

[ThinhThinh123]

Cho hỏi dòng đầu ạ, tại sao lại có thể suy ra được như vậy :

a,b,c>0 và a+b+c=3 => a $\leq 1$ ; b$\leq 1$ ; c$\leq 1$

Đánh giá, chặn giới hạn của nó:

 

Vì vai trò của a,b,c như nhau

Giả sử: $c\geq a\geq b$

$=> 3=a+b+c\geq b+b+b=3b <=> 3b\leq 3=> b\leq 1...$

[toanhoc2017]

Trương Huỳnh Nhật Vinh:Cho$a, b,c$ là số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ .Tìm cực trị của $P=\frac{a^4+b^4}{a+b+2018}+\frac{b^4+c^4}{b+c+2018}+\frac{c^4+a^4}{a+c+2018}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 01-08-2018 - 18:57

[ntbt273]

Trương Huỳnh Nhật Vinh:Cho$a, b,c$ là số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ .Tìm cực trị của $P=\frac{a^4+b^4}{a+b+2018}+\frac{b^4+c^4}{b+c+2018}+\frac{c^4+a^4}{a+c+2018}$

$gt=> \sum a^{2} \geq 3$

$P=\sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a+b+2018} \geq \sum \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2a+2b+4036}\geq \frac{4(\sum a^{2})^{2}}{4a+4b+4c+12108}=\frac{4.9}{4.3+12108}= \frac{3}{1010}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntbt273: 13-08-2018 - 08:17