Chủ đề này có 4 trả lời

[Lethanhthuong]

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d= ab- cd. Chứng minh rằng a+c là hợp số

[Tea Coffee]

Ta có: $(a-1)+(c+1)+(b-ab)+(d+cd)=0<=>(a-1)-b(a-1)+(c+1)+d(c+1)=0<=>(1-b)(a-1)+(d+1)(c+1)=0<=>(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)$

Bổ đề: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: $ac=bd$ thì: + $a+b+c+d$ là hợp số

                                                                                                               + $a+b$ là hợp số

CM:

+)2) 

Gọi $d_{1}=(a,d)(d_{1}\epsilon \mathbb{Z}^{+})$

$=>\left\{\begin{matrix}a=d_{1}.a_{1} \\ d=d_{1}.d_{2} \end{matrix}\right. (a_{1},d_{2}\epsilon \mathbb{Z}^{+},(a_{1},d_{2})=1)$

$=>d_{1}.a_{1}.c=b.d_{1}.d_{2}=>a_{1}.c=b.d_{2}=>b\vdots a_{1}$

$=>a+b=a_{1}.k(a_{1},k> 1\epsilon \mathbb{Z})$ OK!

$=>(c+1)+(d+1)+(a-1)+(b-1)=a+b+c+d$ là hợp số

$(c+1)+(a-1)=a+c$ là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 29-07-2018 - 15:59

[DOTOANNANG]

Ta có: $0< a+ c= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( a+ c \right )}{d+ 1}= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( ab- cd- b- d \right )}{d+ 1}= \frac{\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )}{d+ 1}$ là hợp số vì: $\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )- d- 1= \left ( a- 2 \right )\left ( b+ d \right )+ b- 1\geqq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-08-2018 - 19:11

[DOTOANNANG]

$${\rm 1}+ {\rm 2}+ {\rm 3}+ {\rm 4}= {\rm 3}\times {\rm 4}- {\rm 1}\times {\rm 2}$$

Vậy ${\rm 5}$ là một hợp số ? ! 

[DOTOANNANG]

Ta có: $(a-1)+(c+1)+(b-ab)+(d+cd)=0<=>(a-1)-b(a-1)+(c+1)+d(c+1)=0<=>(1-b)(a-1)+(d+1)(c+1)=0<=>(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)$

Bổ đề: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: $ac=bd$ thì: + $a+b+c+d$ là hợp số

                                                                                                               + $a+b$ là hợp số

CM:

+)2) 

Gọi $d_{1}=(a,d)(d_{1}\epsilon \mathbb{Z}^{+})$

$=>\left\{\begin{matrix}a=d_{1}.a_{1} \\ d=d_{1}.d_{2} \end{matrix}\right. (a_{1},d_{2}\epsilon \mathbb{Z}^{+},(a_{1},d_{2})=1)$

$=>d_{1}.a_{1}.c=b.d_{1}.d_{2}=>a_{1}.c=b.d_{2}=>b\vdots a_{1}$

$=>a+b=a_{1}.k(a_{1},k> 1\epsilon \mathbb{Z})$ OK!

$=>(c+1)+(d+1)+(a-1)+(b-1)=a+b+c+d$ là hợp số

$(c+1)+(a-1)=a+c$ là hợp số

 

Ta có: $0< a+ c= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( a+ c \right )}{d+ 1}= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( ab- cd- b- d \right )}{d+ 1}= \frac{\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )}{d+ 1}$ là hợp số vì: $\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )- d- 1= \left ( a- 2 \right )\left ( b+ d \right )+ b- 1\geqq 0$

 

$a+ c$ là hợp số khi $a> d+ 2$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 16-06-2019 - 16:31