Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d= ab- cd. Chứng minh rằng a+c là hợp số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Lethanhthuong

Lethanhthuong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 28-07-2018 - 15:09

Cho các số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d= ab- cd. Chứng minh rằng a+c là hợp số

#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 29-07-2018 - 15:51

Ta có: $(a-1)+(c+1)+(b-ab)+(d+cd)=0<=>(a-1)-b(a-1)+(c+1)+d(c+1)=0<=>(1-b)(a-1)+(d+1)(c+1)=0<=>(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)$

Bổ đề: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: $ac=bd$ thì: + $a+b+c+d$ là hợp số

                                                                                                               + $a+b$ là hợp số

CM:

+)2) 

Gọi $d_{1}=(a,d)(d_{1}\epsilon \mathbb{Z}^{+})$

$=>\left\{\begin{matrix}a=d_{1}.a_{1} \\ d=d_{1}.d_{2} \end{matrix}\right. (a_{1},d_{2}\epsilon \mathbb{Z}^{+},(a_{1},d_{2})=1)$

$=>d_{1}.a_{1}.c=b.d_{1}.d_{2}=>a_{1}.c=b.d_{2}=>b\vdots a_{1}$

$=>a+b=a_{1}.k(a_{1},k> 1\epsilon \mathbb{Z})$ OK!

$=>(c+1)+(d+1)+(a-1)+(b-1)=a+b+c+d$ là hợp số

$(c+1)+(a-1)=a+c$ là hợp số


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 29-07-2018 - 15:59

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 01-08-2018 - 09:27

Ta có: $0< a+ c= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( a+ c \right )}{d+ 1}= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( ab- cd- b- d \right )}{d+ 1}= \frac{\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )}{d+ 1}$ là hợp số vì: $\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )- d- 1= \left ( a- 2 \right )\left ( b+ d \right )+ b- 1\geqq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-08-2018 - 19:11


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 16-06-2019 - 16:23

$${\rm 1}+ {\rm 2}+ {\rm 3}+ {\rm 4}= {\rm 3}\times {\rm 4}- {\rm 1}\times {\rm 2}$$

Vậy ${\rm 5}$ là một hợp số ? !  :unsure:



#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 16-06-2019 - 16:24

Ta có: $(a-1)+(c+1)+(b-ab)+(d+cd)=0<=>(a-1)-b(a-1)+(c+1)+d(c+1)=0<=>(1-b)(a-1)+(d+1)(c+1)=0<=>(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)$

Bổ đề: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: $ac=bd$ thì: + $a+b+c+d$ là hợp số

                                                                                                               + $a+b$ là hợp số

CM:

+)2) 

Gọi $d_{1}=(a,d)(d_{1}\epsilon \mathbb{Z}^{+})$

$=>\left\{\begin{matrix}a=d_{1}.a_{1} \\ d=d_{1}.d_{2} \end{matrix}\right. (a_{1},d_{2}\epsilon \mathbb{Z}^{+},(a_{1},d_{2})=1)$

$=>d_{1}.a_{1}.c=b.d_{1}.d_{2}=>a_{1}.c=b.d_{2}=>b\vdots a_{1}$

$=>a+b=a_{1}.k(a_{1},k> 1\epsilon \mathbb{Z})$ OK!

$=>(c+1)+(d+1)+(a-1)+(b-1)=a+b+c+d$ là hợp số

$(c+1)+(a-1)=a+c$ là hợp số

 

Ta có: $0< a+ c= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( a+ c \right )}{d+ 1}= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( ab- cd- b- d \right )}{d+ 1}= \frac{\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )}{d+ 1}$ là hợp số vì: $\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )- d- 1= \left ( a- 2 \right )\left ( b+ d \right )+ b- 1\geqq 0$

 

$a+ c$ là hợp số khi $a> d+ 2$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 16-06-2019 - 16:31





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh