Cho các số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d= ab- cd. Chứng minh rằng a+c là hợp số
#1
Đã gửi 28-07-2018 - 15:09
- Tea Coffee, Khoa Linh, thien huu và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 29-07-2018 - 15:51
Ta có: $(a-1)+(c+1)+(b-ab)+(d+cd)=0<=>(a-1)-b(a-1)+(c+1)+d(c+1)=0<=>(1-b)(a-1)+(d+1)(c+1)=0<=>(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)$
Bổ đề: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: $ac=bd$ thì: + $a+b+c+d$ là hợp số
+ $a+b$ là hợp số
CM:
+)2)
Gọi $d_{1}=(a,d)(d_{1}\epsilon \mathbb{Z}^{+})$
$=>\left\{\begin{matrix}a=d_{1}.a_{1} \\ d=d_{1}.d_{2} \end{matrix}\right. (a_{1},d_{2}\epsilon \mathbb{Z}^{+},(a_{1},d_{2})=1)$
$=>d_{1}.a_{1}.c=b.d_{1}.d_{2}=>a_{1}.c=b.d_{2}=>b\vdots a_{1}$
$=>a+b=a_{1}.k(a_{1},k> 1\epsilon \mathbb{Z})$ OK!
$=>(c+1)+(d+1)+(a-1)+(b-1)=a+b+c+d$ là hợp số
$(c+1)+(a-1)=a+c$ là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 29-07-2018 - 15:59
- Sauron, Lao Hac, thien huu và 1 người khác yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#3
Đã gửi 01-08-2018 - 09:27
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-08-2018 - 19:11
- thanhdatqv2003 yêu thích
#4
Đã gửi 16-06-2019 - 16:23
$${\rm 1}+ {\rm 2}+ {\rm 3}+ {\rm 4}= {\rm 3}\times {\rm 4}- {\rm 1}\times {\rm 2}$$
Vậy ${\rm 5}$ là một hợp số ? !
#5
Đã gửi 16-06-2019 - 16:24
Ta có: $(a-1)+(c+1)+(b-ab)+(d+cd)=0<=>(a-1)-b(a-1)+(c+1)+d(c+1)=0<=>(1-b)(a-1)+(d+1)(c+1)=0<=>(c+1)(d+1)=(a-1)(b-1)$
Bổ đề: Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa mãn: $ac=bd$ thì: + $a+b+c+d$ là hợp số
+ $a+b$ là hợp số
CM:
+)2)
Gọi $d_{1}=(a,d)(d_{1}\epsilon \mathbb{Z}^{+})$
$=>\left\{\begin{matrix}a=d_{1}.a_{1} \\ d=d_{1}.d_{2} \end{matrix}\right. (a_{1},d_{2}\epsilon \mathbb{Z}^{+},(a_{1},d_{2})=1)$
$=>d_{1}.a_{1}.c=b.d_{1}.d_{2}=>a_{1}.c=b.d_{2}=>b\vdots a_{1}$
$=>a+b=a_{1}.k(a_{1},k> 1\epsilon \mathbb{Z})$ OK!
$=>(c+1)+(d+1)+(a-1)+(b-1)=a+b+c+d$ là hợp số
$(c+1)+(a-1)=a+c$ là hợp số
Ta có: $0< a+ c= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( a+ c \right )}{d+ 1}= \frac{d\left ( a+ c \right )+ \left ( ab- cd- b- d \right )}{d+ 1}= \frac{\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )}{d+ 1}$ là hợp số vì: $\left ( a- 1 \right )\left ( b+ d \right )- d- 1= \left ( a- 2 \right )\left ( b+ d \right )+ b- 1\geqq 0$
$a+ c$ là hợp số khi $a> d+ 2$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 16-06-2019 - 16:31
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh