Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$ với k= 2017.2019

tính tổng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 pmt22042003

pmt22042003

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:...

Đã gửi 29-07-2018 - 15:22

S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$               với k= 2017.2019



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 30-04-2019 - 17:18

S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$               với k= 2017.2019

Dễ thấy tổng $S$ trong đề bài có $2017.2019$ số hạng, trong đó có $3$ số hạng bằng $1$; $5$ số hạng bằng $2$; $7$ số hạng bằng $3$;...; $4035$ số hạng bằng $2017$. Vậy có thể viết :

$S=1.3+2.5+3.7+...+2017.4035$

$=(3+5+7+...+4035)+(5+7+9+...+4035)+(7+9+11+...+4035)+...+(4033+4035)+(4035)$

$=2019.2017+2020.2016+2021.2015+...+4035.1=2017.2018^2-(1^2+2^2+...+2017^2)$

$=2017.2018^2-\frac{2017.2018.4035}{6}=2017.1009.(4036-1345)=5476596723$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 30-04-2019 - 20:47

$$\sum\limits_{x= 1}^{k}\,\left \lfloor \sqrt{\,x} \right \rfloor= \frac{1}{6}\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\left ( -\,2\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor^{\,2}- 3\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor+ 6\,k+ 5 \right )$$

@HaiDangel



#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-05-2019 - 08:48

$$\sum\limits_{x= 1}^{k}\,\left \lfloor \sqrt{\,x} \right \rfloor= \frac{1}{6}\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\left ( -\,2\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor^{\,2}- 3\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor+ 6\,k+ 5 \right )$$

@HaiDangel

Gọi $t$ là số nguyên dương thỏa mãn $k\in\left [ t^2;t^2+2t \right ]$. Khi đó $\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor=t$ và ta có :

$\sum_{x=1}^{k}\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=1.3+2.5+3.7+...+(t-1)(2t-1)+t(k-t^2+1)$

$=(t+1)(t-1)+(t+2)(t-2)+...+(2t-1).1+t(k-t^2+1)$

$=(t-1)t^2-\left [ 1^2+2^2+...+(t-1)^2 \right ]+t(k-t^2+1)$

$=\frac{t}{6}\left [ 6t(t-1)-(t-1)(2t-1)+6(k-t^2+1) \right ]=\frac{t}{6}\left ( -2t^2-3t+6k+5 \right )$

$=\frac{\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor}{6}\left ( -2\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor^2-3\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor+6k+5 \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-05-2019 - 08:50

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 04-05-2019 - 15:19

Có bao nhiêu số nguyên $n$ với $1\leq n\leq 1000$ thỏa $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\mid n$ ?


++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-05-2019 - 21:54

Có bao nhiêu số nguyên $n$ với $1\leq n\leq 1000$ thỏa $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\mid n$ ?

Đặt $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor=k$

$1\leqslant n\leqslant 1000\Rightarrow 1\leqslant k\leqslant 10$

Xét 2 trường hợp :

a) $1\leqslant k\leqslant 9$ :

   $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor=k\Leftrightarrow n$ từ $k^3$ đến $k^3+3k^2+3k$, hay nói cách khác $n$ từ $k(k^2)$ đến $k(k^2+3k+3)$ (trong đó có $3k+4$ số chia hết cho $k$)

   Vậy số số nguyên $n$ trong trường hợp này là $\sum_{k=1}^{9}(3k+4)=9.4+3\sum_{k=1}^{9}k=171$

b) $k=10$ :

   Trường hợp này $n$ chỉ có $1$ giá trị là $1000$ và nó thỏa mãn điều kiện đề bài (vì chia hết cho $k=10$)

 

Đáp án bài toán là $171+1=172$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7 dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 08-05-2019 - 12:46

1/ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa $\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1> \frac{n}{100}$

2/ Có bao nhiêu cặp số phức có thứ tự $\left ( z_{1},z_{2} \right )$ mà  $z_{1}.z_{2}=10$ và phần thực, phần ảo của chúng là số nguyên.


++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-05-2019 - 21:19

1/ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa $\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1> \frac{n}{100}$

2/ Có bao nhiêu cặp số phức có thứ tự $\left ( z_{1},z_{2} \right )$ mà  $z_{1}.z_{2}=10$ và phần thực, phần ảo của chúng là số nguyên.

Bài 1 :

Đặt $f(n)=\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1$ ; $g(n)=\frac{n}{100}$

Xét các trường hợp :

+ $n$ từ $1$ đến $10100$ :

   $\frac{n}{100}-\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil\leqslant \frac{n}{100}-\frac{n}{101}=\frac{n}{10100}\leqslant 1\Leftrightarrow g(n)\leqslant f(n)$

   Dấu bằng chỉ xảy ra khi $n=10100$. Vậy trường hợp này có $10099$ số thỏa mãn.

+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $10101$ đến $10201$) :

   Khi đó $f(n)=102> g(n)$ (trừ 2 giá trị $n=10200$ và $n=10201$). Vậy trường hợp này có $99$ số thỏa mãn.

+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $10202$ đến $10302$) :

   Khi đó $f(n)=103> g(n)$ (trừ 3 giá trị $n=10300$, $n=10301$ và $n=10302$). Vậy trường hợp này có $98$ số thỏa mãn.

+ .............................................................

+ .............................................................

+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $19999$ đến $20099$) :

   Khi đó ....... Vậy trường hợp này có $1$ số thỏa mãn.

+ $n\geqslant 20100$ : Không có số nào thỏa mãn.

$\Rightarrow$ Có $10099+(99+98+97+...+1)=15049$ số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Bài 2 :

Các số phức $z_1,z_2$ có phần thực và phần ảo là số nguyên $\Rightarrow$ điểm biểu diễn của chúng có các tọa độ là số nguyên

$\Rightarrow |z_1|$ và $|z_2|$ đều có dạng $\sqrt{a^2+b^2}$ ($a,b\in\mathbb{Z}$)

Mặt khác $z_1.z_2=10\Rightarrow |z_1|.|z_2|=10$

Từ đó suy ra $|z_1|$ và $|z_2|$ chỉ có thể lấy các giá trị sau : $1;\sqrt{2};2;\sqrt{5};\sqrt{10};2\sqrt{5};5;5\sqrt{2};10$

Xét các trường hợp :

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $1$ : Có $8$ cặp như vậy.

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $\sqrt{2}$ : Có $8$ cặp như vậy.

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $2$ : Có $8$ cặp như vậy.

+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $\sqrt{5}$ : Có $16$ cặp như vậy.

+ Cả hai số phức có module bằng $\sqrt{10}$ : Có $8$ cặp như vậy.

Tổng cộng có $48$ cặp $(z_1,z_2)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#9 dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 14-05-2019 - 11:13

Bài cuối nhé!

Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.


++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#10 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-05-2019 - 09:12

Bài cuối nhé!

Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.

Đặt $z=a+bi$

Gọi $A$ và $B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $z-1$ và $z+1$.

$e^z=\frac{z-1}{z+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}|e^z|=\frac{|z-1|}{|z+1|}\\\arg(e^z)=\arg(z-1)-\arg(z+1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}\\\tan b=\tan(OB,OA) \end{matrix}\right.$

Xét các trường hợp :

+ $a> 0$ : Khi đó $|z-1|< |z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ không nghiệm đúng.

+ $a< 0$ : Khi đó $|z-1|> |z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ cũng không nghiệm đúng.

+ $a=0$ : Khi đó $|z-1|=|z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ nghiệm đúng. Vậy $a=0$

Bây giờ ta tính $b$. Vì $|z|< 30$ mà $a=0$ suy ra $|b|< 30$.

Dễ thấy nếu $b=0$ (tức $z=0$) thì phương trình $e^z=\frac{z-1}{z+1}$ không nghiệm đúng.

Với $b\neq 0$, ta có :

$\tan(OB,OA)=\frac{\frac{2}{b}}{1-\frac{1}{b^2}}=\frac{2b}{b^2-1}$    

Vậy ta có $\tan b=\frac{2b}{b^2-1}$     (*)

Dùng phương pháp đồ thị ta thấy phương trình (*) có $20$ nghiệm có $|b|< 30$ (không tính nghiệm $b=0$)

Suy ra có $20$ số phức thỏa mãn điều kiện đề bài.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#11 dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 15-05-2019 - 14:57

Thật ngưỡng mộ anh!

Em xin trình bày, mong anh cho ý kiến. Và sử dụng dữ liệu anh đã viết, ta có phương trình mới:

$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$

Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.

Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.

Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:

Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$

Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$

$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị  $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.


++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.


#12 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1884 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 15-05-2019 - 17:10

 

$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$

Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.

Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.

Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:

Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$

Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$

$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị  $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.

Vậy khi $b$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\frac{3\pi}{2}$ đến $\pi$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $-\frac{\pi}{2}$ đến $0$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $2\pi $ đến $\pi$.

Áp dụng cách lập luận của bạn thì trong các khoảng $(-10\pi;-9\pi),(-8\pi;-7\pi),(-6\pi;-5\pi),(-4\pi;-3\pi),(-2\pi;-\pi)$ cũng sẽ có thêm $5$ giá trị $b$ âm (nhưng $5$ giá trị này không đối xứng qua $0$ với $5$ giá trị dương kia). Vậy là chỉ có $10$ số phức thỏa yêu cầu đề bài. Chúc mừng bạn đã giải đúng :like


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#13 dottoantap

dottoantap

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 16-05-2019 - 17:44

Em đã dùng từ không đúng mà lại đặt ở vị trí "nhạy cảm " trong câu; bây giờ đọc lại, em cũng nghĩ như anh. Có lẽ, dùng từ "tương tự " thì dễ chấp nhận hơn nhỉ?
Cám ơn anh rất nhiều.

++++++++++++++++++++++++++++

Everything is impossible until you do it.

“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh