Chủ đề này có 7 trả lời

[canletgo]

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

[chanhquocnghiem]

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Trước hết, ta hãy chứng minh rằng $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n< 3,\forall n\in \mathbb{N}^*$ $(^*)$

Ta có $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k$

Để ý rằng khi $n$ tiến đến vô cùng thì

$\frac{n!}{(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n^k}$ sẽ tiến đến $1$

Do đó $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

$=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...< 1+\left (1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+... \right )=3$

 

Bây giờ, ta chứng minh $n!> \left ( \frac{n}{3} \right )^n$ $(^{**})$ bằng quy nạp.

1) Với $n=1$, $(^{**})$ đúng.

2) Giả sử $(^{**})$ cũng đúng khi $n=m\geqslant 1$, tức là ta có $m!> \left ( \frac{m}{3} \right )^m$

    $\Rightarrow (m+1)!> \left ( \frac{m}{3} \right )^m.(m+1)$

    Đến đây áp dụng $(^*)$, ta có $(m+1)!> \frac{\left ( \frac{m+1}{m} \right )^m}{3}.\left ( \frac{m}{3} \right )^m.(m+1)=\left ( \frac{m+1}{3} \right )^{m+1}$

    Vậy $(^{**})$ cũng đúng khi $n=m+1$

3) Theo nguyên lý quy nạp thì $(^{**})$ đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 31-07-2018 - 07:19

[An Infinitesimal]

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

 

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

[canletgo]

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

[An Infinitesimal]

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

[canletgo]

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 03-08-2018 - 18:22

[An Infinitesimal]

có đơn giản quá không nhỉ

 

Ý bạn là thế nào?

 

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$

 

Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?

[canletgo]

Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?

Mình chưa hiểu ý bạn lắm