Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$
Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$
#1
Đã gửi 30-07-2018 - 09:47
Alpha $\alpha$
#2
Đã gửi 30-07-2018 - 22:51
Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$
Trước hết, ta hãy chứng minh rằng $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n< 3,\forall n\in \mathbb{N}^*$ $(^*)$
Ta có $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k$
Để ý rằng khi $n$ tiến đến vô cùng thì
$\frac{n!}{(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n^k}$ sẽ tiến đến $1$
Do đó $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$
$=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...< 1+\left (1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+... \right )=3$
Bây giờ, ta chứng minh $n!> \left ( \frac{n}{3} \right )^n$ $(^{**})$ bằng quy nạp.
1) Với $n=1$, $(^{**})$ đúng.
2) Giả sử $(^{**})$ cũng đúng khi $n=m\geqslant 1$, tức là ta có $m!> \left ( \frac{m}{3} \right )^m$
$\Rightarrow (m+1)!> \left ( \frac{m}{3} \right )^m.(m+1)$
Đến đây áp dụng $(^*)$, ta có $(m+1)!> \frac{\left ( \frac{m+1}{m} \right )^m}{3}.\left ( \frac{m}{3} \right )^m.(m+1)=\left ( \frac{m+1}{3} \right )^{m+1}$
Vậy $(^{**})$ cũng đúng khi $n=m+1$
3) Theo nguyên lý quy nạp thì $(^{**})$ đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 31-07-2018 - 07:19
- canletgo, nguyenhaan2209, YoLo và 2 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 01-08-2018 - 16:01
Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$
Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$
Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$
Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$
Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$
Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.
- canletgo yêu thích
Đời người là một hành trình...
#4
Đã gửi 01-08-2018 - 21:32
Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$
Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$
Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$
Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$
Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.
Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$
Alpha $\alpha$
#5
Đã gửi 03-08-2018 - 17:58
Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$
Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?
Đời người là một hành trình...
#6
Đã gửi 03-08-2018 - 18:20
Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?
$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 03-08-2018 - 18:22
Alpha $\alpha$
#7
Đã gửi 10-09-2018 - 02:05
có đơn giản quá không nhỉ
Ý bạn là thế nào?
$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$
Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?
Đời người là một hành trình...
#8
Đã gửi 10-09-2018 - 13:02
Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?
Mình chưa hiểu ý bạn lắm
Alpha $\alpha$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh