Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 30-07-2018 - 09:47

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$


Alpha $\alpha$ 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 30-07-2018 - 22:51

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Trước hết, ta hãy chứng minh rằng $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n< 3,\forall n\in \mathbb{N}^*$ $(^*)$

Ta có $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k$

Để ý rằng khi $n$ tiến đến vô cùng thì

$\frac{n!}{(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n^k}$ sẽ tiến đến $1$

Do đó $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\left ( \frac{1}{n} \right )^k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

$=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...< 1+\left (1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+... \right )=3$

 

Bây giờ, ta chứng minh $n!> \left ( \frac{n}{3} \right )^n$ $(^{**})$ bằng quy nạp.

1) Với $n=1$, $(^{**})$ đúng.

2) Giả sử $(^{**})$ cũng đúng khi $n=m\geqslant 1$, tức là ta có $m!> \left ( \frac{m}{3} \right )^m$

    $\Rightarrow (m+1)!> \left ( \frac{m}{3} \right )^m.(m+1)$

    Đến đây áp dụng $(^*)$, ta có $(m+1)!> \frac{\left ( \frac{m+1}{m} \right )^m}{3}.\left ( \frac{m}{3} \right )^m.(m+1)=\left ( \frac{m+1}{3} \right )^{m+1}$

    Vậy $(^{**})$ cũng đúng khi $n=m+1$

3) Theo nguyên lý quy nạp thì $(^{**})$ đúng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 31-07-2018 - 07:19

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 01-08-2018 - 16:01

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

 

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.


Đời người là một hành trình...


#4 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 01-08-2018 - 21:32

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$


Alpha $\alpha$ 


#5 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 03-08-2018 - 17:58

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?


Đời người là một hành trình...


#6 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 03-08-2018 - 18:20

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 03-08-2018 - 18:22

Alpha $\alpha$ 


#7 datle21

datle21

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hồ chí minh
  • Sở thích:Học toán

Đã gửi 30-08-2018 - 12:00

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

có đơn giản quá không nhỉ



#8 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 10-09-2018 - 02:05

có đơn giản quá không nhỉ

 

Ý bạn là thế nào?

 

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$

 

Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?


Đời người là một hành trình...


#9 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 10-09-2018 - 13:02

Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?

Mình chưa hiểu ý bạn lắm


Alpha $\alpha$ 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh