Chủ đề này có 3 trả lời

[Hnim Naul]

Cho $ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} > 0, (n>0).CMR: (1+a_{1})(1+a_{2})(1+a_{3})...(1+a_{n})\geq (1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}})^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hnim Naul: 01-08-2018 - 15:33

[DOTOANNANG]

$\lceil$ Bất đẳng thức Holder! $\rfloor$

[Hero Crab]

Áp dụng bđt cauchy cho n số:

$\frac{a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{a_{2}}{a_{2}+1}+\frac{a_{3}}{a_{3}+1}+...+\frac{a_{n}}{a_{n}+1}\geqslant n\sqrt[n]{\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{\left ( a_{1}+1 \right )\left ( a_{2}+1 \right )\left ( a_{3}+1 \right )...\left ( a_{n}+1 \right )}}$

$\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}+\frac{1}{a_{3}+1}+...+\frac{1}{a_{n}+1}\geqslant n\sqrt[n]{\frac{1}{\left ( a_{1}+1 \right )\left ( a_{2}+1 \right )\left ( a_{3}+1 \right )...\left ( a_{n}+1 \right )}}$

Cộng theo vế ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

[DOTOANNANG]

$\lceil$ Bất đẳng thức Holder! $\rfloor$

 

Kí hiệu $\text{P}\left ( n \right )$ là mệnh đề cần chứng minh! $\text{P}\left ( 1 \right )$ hiển nhiên đúng! Giả sử mệnh đề $\text{P}\left ( n- 1 \right )\,\,\left ( n\geqq 2 \right )$ đúng, khi đó, theo giả thiết quy nạp, ta có:

 

$$\left ( 1+ a_{\,1} \right )\left ( 1+ a_{\,2} \right )\,...\,\left ( 1+ a_{\,n- 1} \right )\geqq \left ( 1+ \sqrt[n- 1\,]{a_{\,1}\,a_{\,2}\,...\,a_{\,n- 1}} \right )^{\,n- 1}$$

 

Để $\text{P}\left ( n \right )$ đúng, ta sẽ chứng minh:

 

$$\left ( 1+ \sqrt[n- 1\,]{a_{\,1}\,a_{\,2}\,...\,a_{\,n- 1}} \right )^{\,n- 1}\geqq \left ( 1+ \sqrt[n\,]{a_{\,1}\,a_{\,2}\,...\,a_{\,n}} \right )^{\,n}$$

 

Đặt $x= \sqrt[n- 1\,]{a_{\,1}\,a_{\,2}\,...\,a_{\,n- 1}}\,,\,y= \sqrt[n\,]{a_{\,n}}\,\,\Leftrightarrow \,\,\left ( 1+ x \right )^{\,n- 1}\left ( 1+ y^{\,n} \right )\geqq \left ( 1+ x^{\,\frac{n- 1}{n}}\,y \right )^{\,n}$

 

$\lceil$ Bất đẳng thức Holder! $\rfloor$

 

$$\left ( 1+ x \right )^{\,n- 1}\left ( 1+ y^{\,n} \right )\geqq \left ( \sqrt[n\,]{1^{\,n- 1}\,1}+ \sqrt[n\,]{x^{\,n- 1}\,y^{\,n}} \right )^{\,n}= \left ( 1+ x^{\,\frac{n- 1}{n}}\,y \right )^{n}$$

 

Ta được điều phải chứng minh!