Chủ đề này có 2 trả lời

[trang2004]

CHo $0\leq a,b,c\leq 1$ Tìm max T=$2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)$

[BurakkuYokuro11]

$(1-a)^2(1-b)+(1-b)^2(1-c)+(1-c)^2(1-a)\geq 0$

$a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)\geq 0$

Áp dụng 2 BĐT này theo Pp bắc cầu

[DOTOANNANG]

Do vai trò của $a\,\,\,b\,\,\,c$ hoán vị nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $a= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}$ . Xét:

$a\geqq b\geqq c$ thì: $3\,a^{\,3}- \left ( 2\,a^{\,3}+ 2\,b^{\,3}+ 2\,c^{\,3} \right )+ \left ( a^{\,2}b+ b^{\,2}c+ c^{\,2}a \right )= c\left ( b+ 2\,c \right )\left ( b- c \right )+ \left ( a- b \right )\left ( a^{\,2}+ 2\,ab+ 2\,b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\geqq 0$ , nên $\text{T}\leqq 3\,a^{\,3}\leqq 3$

$a\geqq c\geqq b$ thì: $2\,a^{\,3}+ c^{\,3}- 2\left ( a^{\,3}+ b^{\,3}+ c^{\,3} \right )+ \left ( a^{\,2}b+ b^{\,2}c+ c^{\,2}a \right )= \left ( a- c \right )\left ( ab+ bc+ c^{\,2} \right )+ b\left ( 2\,b+ c \right )\left ( c- b \right )\geqq 0$ , nên $\text{T}\leqq 3$