Chủ đề này có 4 trả lời

[anhquannbk]

Cho các ma trận $A, B\in M_n(\mathbb{R})$ và đặt

$M=\begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}, N=\begin{pmatrix} A+B & O_n \\ O_n & A-B \end{pmatrix}$

$ P=\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix} A+iB & O_n \\ O_n & A-iB \end{pmatrix}, (i^2=-1) $.

Chứng minh rằng các ma trận $M,N$ đồng dạng và các ma trận $P,Q$ đồng dạng.

[LangTu Mua Bui]

Hai ma trận đồng dạng với nhau cho chúng có cùng đa thức cực tiểu như vậy ta có thể chéo hóa ma trận đó về dạng jordan .Đây là cách tổng quát cho mọi ma trận cho dù ma trận đó k có cơ sở để chéo hóa được.

 

 Các ma trận đường chéo $ A=diag(a_{ii}) $ có đặc điểm thuận tiện khi lũy thừa vì thế một đa thức P(x) thì  P(A) là một ma trận đường chéo có dạng $diag(P(a_{ii})) $ nó đúng cho cả các ma trận khối .
.
Ta  có tính chất nếu đa thức P(A)=0 thì nó là chia hết cho $g_{A} $ đa thức cực tiểu của ma trận A  
Xét P(N) là đa thức tối thiểu thì $diag(P(A+B) ,P(A-B) )$ Vì thế P(N)=0 khi chỉ khi P(A+B)=0 ,P(A-B) =0 tức P(N) là bội chung của của 2 đa thức cực tiểu A+B và A-B. .
Do  $g_{N} $là đa thức cực tiểu vì vậy là đa thức có bậc bé nhất suy ra nó là  bội chung nhỏ nhất của 2 đa thức cực tiểu $g_{A+B} $và $g_{A-B} $ 

Bây h ta sẽ đi chứng minh ma trận M cũng có đa thức cực tiểu là bội chung nhỏ nhất của $g_{A+B}$ và $g_{A-B}$
Xét thấy 

$\begin{pmatrix} A & B\\ B&A \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (A+B)+(A-B) & (A+B)-(A-B) \\ (A+B)-(A-B)& (A+B)+(A-B) \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} A &B \\ B&A \end{pmatrix}^{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (A+B)^{2}+(A-B)^{2} & (A+B)^{2}-(A-B)^{2} \\ (A+B)^{2}-(A-B)^{2}& (A+B)^{2}+(A-B)^{2} \end{pmatrix}$

.. ..

$P(M)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} P(A+B)+P(A-B) & P(A+B)-P(A-B)\\ P(A+B)-P(A-B)& P(A+B)+P(A-B) \end{pmatrix}$

 

Tương tự nếu $P(M)=0 $thì $P(A+B)+P(A-B)=0$ và $P(A+B)-P(A-B)=0$ điều đó có nghĩa là P(M)=0 khi và chỉ khi$ P(A+B) $và $P(A-B) $đều bằng 0.
Dẫn tới các đa thức thỏa mãn$ g(M)=0$ thì chúng là bội chung của các đa thức cực tiểu $(A+B) $và $(A-B) $

Nếu là đa thức cực tiểu số bậc nhỏ nhất thì nó là duy nhất và là bội chung nhỏ nhất của 2 đa thức cực tiểu của 2 ma trận $(A+B) $và $(A-B) .$

Vậy ta đã chứng minh 2 ma trận M và N cùng đa thức cực tiểu vì thế chúng đồng dạng với nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 19-08-2018 - 10:41

[vutuanhien]

Hai ma trận đồng dạng với nhau cho chúng có cùng đa thức cực tiểu như vậy ta có thể chéo hóa ma trận đó về dạng jordan .Đây là cách tổng quát cho mọi ma trận cho dù ma trận đó k có cơ sở để chéo hóa được.

 

 Các ma trận đường chéo $ A=diag(a_{ii}) $ có đặc điểm thuận tiện khi lũy thừa vì thế một đa thức P(x) thì  P(A) là một ma trận đường chéo có dạng $diag(P(a_{ii})) $ nó đúng cho cả các ma trận khối .
.
Ta  có tính chất nếu đa thức P(A)=0 thì nó là chia hết cho $g_{A} $ đa thức cực tiểu của ma trận A  
Xét P(N) là đa thức tối thiểu thì $diag(P(A+B) ,P(A-B) )$ Vì thế P(N)=0 khi chỉ khi P(A+B)=0 ,P(A-B) =0 tức P(N) là bội chung của của 2 đa thức cực tiểu A+B và A-B. .
Do  $g_{N} $là đa thức cực tiểu vì vậy là đa thức có bậc bé nhất suy ra nó là  bội chung nhỏ nhất của 2 đa thức cực tiểu $g_{A+B} $và $g_{A-B} $ 

Bây h ta sẽ đi chứng minh ma trận M cũng có đa thức cực tiểu là bội chung nhỏ nhất của $g_{A+B}$ và $g_{A-B}$
Xét thấy 

$\begin{pmatrix} A & B\\ B&A \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (A+B)+(A-B) & (A+B)-(A-B) \\ (A+B)-(A-B)& (A+B)+(A-B) \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} A &B \\ B&A \end{pmatrix}^{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (A+B)^{2}+(A-B)^{2} & (A+B)^{2}-(A-B)^{2} \\ (A+B)^{2}-(A-B)^{2}& (A+B)^{2}+(A-B)^{2} \end{pmatrix}$

.. ..

$P(M)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} P(A+B)+P(A-B) & P(A+B)-P(A-B)\\ P(A+B)-P(A-B)& P(A+B)+P(A-B) \end{pmatrix}$

 

Tương tự nếu $P(M)=0 $thì $P(A+B)+P(A-B)=0$ và $P(A+B)-P(A-B)=0$ điều đó có nghĩa là P(M)=0 khi và chỉ khi$ P(A+B) $và $P(A-B) $đều bằng 0.
Dẫn tới các đa thức thỏa mãn$ g(M)=0$ thì chúng là bội chung của các đa thức cực tiểu $(A+B) $và $(A-B) $

Nếu là đa thức cực tiểu số bậc nhỏ nhất thì nó là duy nhất và là bội chung nhỏ nhất của 2 đa thức cực tiểu của 2 ma trận $(A+B) $và $(A-B) .$

Vậy ta đã chứng minh 2 ma trận M và N cùng đa thức cực tiểu vì thế chúng đồng dạng với nhau.

Hai ma trận có cùng đa thức tối tiểu không nhất thiết phải đồng dạng với nhau, điều ấy chỉ đúng với ma trận cỡ $3\times 3$ và sai với mọi $n>3$.

 

http://www.mathcount...ic-polynomials/

[LangTu Mua Bui]

Hai ma trận có cùng đa thức tối tiểu không nhất thiết phải đồng dạng với nhau, điều ấy chỉ đúng với ma trận cỡ $3\times 3$ và sai với mọi $n>3$.

 

http://www.mathcount...ic-polynomials/

Để sửa và bổ sung thêm đoạn chứng minh cùng số khối 
Hai ma trận vuông cùng cấp đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng cùng dạng chuẩn tắc 
Lời bổ sung sẽ thêm sau đây

[LangTu Mua Bui]

Hai ma trận đồng dạng với nhau khi chúng cùng dạng chuẩn tắc như vậy ta có thể chéo hóa ma trận đó về dạng jordan .Đây là cách tổng quát cho mọi ma trận cho dù ma trận đó k có cơ sở để chéo hóa được.

Đầu tiên đi chứng minh chúng cùng đa thức đặc trưng :

 

 Các ma trận đường chéo $ A=diag(a_{ii}) $ có đặc điểm thuận tiện khi lũy thừa vì thế một đa thức P(x) thì  P(A) là một ma trận đường chéo có dạng $diag(P(a_{ii})) $ nó đúng cho cả các ma trận khối .
.
Ta  có tính chất nếu đa thức P(A)=0 thì nó là chia hết cho $g_{A} $ đa thức cực tiểu của ma trận A  
Xét P(N) là đa thức tối thiểu thì $diag(P(A+B) ,P(A-B) )$ Vì thế P(N)=0 khi chỉ khi P(A+B)=0 ,P(A-B) =0 tức P(N) là bội chung của của 2 đa thức cực tiểu A+B và A-B. .
Do  $g_{N} $là đa thức cực tiểu vì vậy là đa thức có bậc bé nhất suy ra nó là  bội chung nhỏ nhất của 2 đa thức cực tiểu $g_{A+B} $và $g_{A-B} $ 

Bây h ta sẽ đi chứng minh ma trận M cũng có đa thức cực tiểu là bội chung nhỏ nhất của $g_{A+B}$ và $g_{A-B}$
Xét thấy 

$\begin{pmatrix} A & B\\ B&A \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (A+B)+(A-B) & (A+B)-(A-B) \\ (A+B)-(A-B)& (A+B)+(A-B) \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} A &B \\ B&A \end{pmatrix}^{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (A+B)^{2}+(A-B)^{2} & (A+B)^{2}-(A-B)^{2} \\ (A+B)^{2}-(A-B)^{2}& (A+B)^{2}+(A-B)^{2} \end{pmatrix}$

.. ..

$P(M)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} P(A+B)+P(A-B) & P(A+B)-P(A-B)\\ P(A+B)-P(A-B)& P(A+B)+P(A-B) \end{pmatrix}$

 

Tương tự nếu $P(M)=0 $thì $P(A+B)+P(A-B)=0$ và $P(A+B)-P(A-B)=0$ điều đó có nghĩa là P(M)=0 khi và chỉ khi$ P(A+B) $và $P(A-B) $đều bằng 0.
Dẫn tới các đa thức thỏa mãn$ g(M)=0$ thì chúng là bội chung của các đa thức cực tiểu $(A+B) $và $(A-B) $

Nếu là đa thức cực tiểu số bậc nhỏ nhất thì nó là duy nhất và là bội chung nhỏ nhất của 2 đa thức cực tiểu của 2 ma trận $(A+B) $và $(A-B) .$

Tiếp theo chứng minh chúng cùng mỗi khối liên kết tương ứng bằng nhau 

Tức thỏa mãn định lý số chiều gọi S_{ik} là số khối của đa thức liên kết 
Gọi là g là đa thức tối thiểu của ma trận M $g=g^{p_{1}}_{1}...g^{p_{r}}_{n} $
$S_{ik}=\frac{rank g^{k-1}_{i} -2rank g^{k}_{i}+rank g^{k+1}_{i} }{deg g_{i}} $
 

Với ma trận N ta có $rankg_{i}(A)=\begin{pmatrix} g_{i}(A+B) &0 \\ 0 & g_{i}(A-B) \end{pmatrix}$ suy ra $rank g_{i}N)=rank(g_{i}(A+B))+rank g_{i}(A-B) $ 
 

Với ma trận M nhờ cộng theo hàng ta được $ rank g_{i}(M)$=rank $\begin{pmatrix} g_{i}(A+B)+g_{i}(A-B) & g_{i}(A+B)-g_{i}(A-B)\\ g_{i}(A+B)-g_{i}(A-B) & g_{i}(A+B)+g_{i}(A-B) \end{pmatrix} =$rank $\begin{pmatrix} g_{i}{A+B} &g_{i}{A+B} \\ -g_{i}{A-B} &g_{i}(A-B) \end{pmatrix}$
Ta thấy mỗi hạng của ma trận của khối thứ 1 khi biến đổi sơ cấp với các hạng của khối thứ 2 đều không thể bằng 0 điều này chứng tỏ  hạng của ma trận M bằng hạng $rank g_{i}(A+B) +rank g_{i}(A-B) $ 
Điều này chứng tỏ số khối liên kết của 2 ma trận tương tứng bằng nhau .

Vậy ta đã chứng minh 2 ma trận M và N cùng đa thức cực tiểu vì thế chúng đồng dạng với nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 19-08-2018 - 11:37