Chủ đề này có 5 trả lời

[ngocson52]

Đôi điều về hình học phi Euclide (Ơclit)
(Copy từ diễn đàn cũ
Người gửi: alpha
Nguồn: Sách ìCác câu chuyện toán học”, NXBGD)

Đôi điều về hình học phi Euclide (Ơclit)
Nguồn: Sách ìCác câu chuyện toán học”, NXBGD)

Truyện kể rằng, vào năm 1823 Farkas Bolyai (1775-1858) đã viết thư cho người con trai l�  Janos Bolyai (15.12.1802-27.1.1860) người Hungary rằng: "Con đừng đi vào con đường m�  bố đã đi, đừng nhảy vào "hang không đáy" đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực v�  tâm huyết của bố". Đây l�  lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu định đề 5 của Euclid m�  không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu "lý thuyết các đường song song", thì F. Bolyai đã rất sợ hãi v�  đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: "Con sẽ không thể nào chiến thắng được lý thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy v�  đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có v�  đã chôn vùi ở đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuyết cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẩn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh v�  sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ v�  sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm. Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mĩ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khỏi những ham mê con ôm ấp..."

Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau: " Ai chứng minh được tiên đề vaề các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng trái đất"). V�  chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã đã không vì những lời cảnh báo của bố mình m�  lùi bước. Tránh những thất bạo của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh định đề 5 của Euclid, m�  đã xét nó như một tiên đề độc lập. V�  khi phủ định định đề 5 của Euclid, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (m�  về sau còn được gọi l�  hình học phi Ơclit). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú v�  những chứng minh của ông rất hoàn thiện.  

J. Bolyai l�  một nh�  toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai v�  bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống của J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bố chính l�  một nh�  toán học đầy tâm huyết v�  rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F.Bolyai đã vo tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.

(Còn tiếp)

(Chú thích: Định đề 5 của Euclid được phát biểu trong cuốn "Nguyên lý" như sau:
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó  

Định đề 5 còn tương đương với rất nhiều mệnh đề khác, mời bạn xem tiếp một bài riêng về định đề 5 vào một ngày sắp tới)

[ngocson52]

Phần 2:
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày "Học thuyết tuyệt đối đúng về không gian". F. Bolyai đã viết thư cho Carl Friedrick Gauss ( 30.4.1777-23.2.1855) đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J.Bolyai. Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức l�  tự khen mình. Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính l�  tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau đó Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nh�  toán học trẻ tuổi J. Bolyai l�  một thiên tài.

Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nh�  toán học lỗi lạc Gauss l�  hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn l�  Tolinos, Gauss đã viết " Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180°, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúgn ta. Tôi phát triển nó v�  thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". V�  bức thư nổi tiếng m�  Gauss đã gửi Frants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của hình học phi Euclid. Nhưng đó mới chỉ l�  những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. tuy nhiên lúc bấy giwò Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.

Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. bolyai nghĩ rằng Gauss đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế J. Bolyai rất đau lòng v�  đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bolyai đã được bố mình gửi cho luận văn "Nghiên cứu về lý thuyết các đường song song" của N.I. Lobachevskii, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N.I. Lobachevskii ccũng đã đi đến những kết quả giống như mình, v�  j. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N.I. Lobachevskii.

[ngocson52]

(Trả lời của một khách có tên conbokeoxe)

Cho tớ nói ngoài lề một tẹo:  

Gauss l�  một thiên tài toán học đúng nghĩa của từ thiên tài. Nói chung vì l�  một người quá cầu toàn nên ông ấy không cho xuất bản khá nhiều thứ quan trọng ông ấy đã nghĩ ra - trong đó có hình học phi Euclid v�  hình như cả lý thuyết nhóm đại số (không hoàn chỉnh) m�  về sau Galois đã đưa ra cho thế giới. Tuy nhiên còn một dạng hình học khác cũng không phải l�  hình học Euclid m�  Gauss l�  người đầu tiên phát triển l�  hình học vi phân (Differential Geometry) m�  về sau học trò của ông l�  Riemann đã phát triển thành hình học Riemann nổi tiếng (loại hình học Einstein đã dùng để đưa ra lý thuyết tương đối).  

Ngoài ra Gauss cũng l�  nh�  toán học duy nhất không cố thử chứng minh định lý Fermat lớn vì có lẽ ông đã "đánh hơi" được rằng ngoài cái đề bài đơn giản trẻ con cũng có thể hiểu được ấy l�  cả một ngọn núi khổng lồ không thể chinh phục nổi bằng mức phát triển của toán học thời ông.
Ở tuổi 24 Gauss đã viết xong cuốn Arithmaticae - Kinh thánh thứ hai của toán học sau cuốn Elements của Euclid. Kể từ đó trở đi số học coi như không có bước phát triển nào nữa, mãi cho tới khi Đại số đựơc phát triển v�  ghép với số học nhờ lý thuyết của Galois, Abel .v.v.  

Đến khỏang giữa thế kỷ 20 thì Hardy đã từng nói rằng: "Số học coi như từ nay không có ứng dụng vào bất cứ lĩnh vực gì nữa v�  định lý Fermat lớn nếu có đựơc chứng minh cũng chỉ có ý nghĩa lịch sử chứ không đem lại ý nghĩa ứng dụng nào nữa". May m�  sự ứng dụng rộng rãi của tin học ngày nay đã đem lại sự phục hưng cho số học - nhất l�  trong lĩnh vực Bảo mật (Cryptography). Tuy nhiên, sau khi lý thuyết về Factor sử dụng các Fourier Transformations của Shor được công nhận rộng rãi năm 1994 (Shor đã nhận giải Nevanlinda cho toán ứng dụng) thì rất có thể sự ra đời của một máy tính lượng tử (quantum computer) đủ mạnh với cỡ khỏang 100 Quantenbits thôi (hiện nay MIT đã cho ra máy dùng 7 Quantenbits) cũng đủ làm cho tất cả các trò Cryptography hiện nay chỉ l�  trò hề có thể giải trong nháy mắt. Rất có thể một thời gian nữa Số học thuần túy lại trở về đúng vị trí của nó từ thời Gauss - có nghĩa l�  không còn ý nghĩa thực tế nữa.

[ngocson52]

Phần 3:

Cùng thời với J.Bolyai, ở Cadan( Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga ), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó l�  nh�  toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevskii ( 1.12.1792-24.2.1856) . N.I.Lobachevskii đã từng l�  giáo sư xuất xắc, hiệu trưởng của trường đại học tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề v�  tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển, không thể suy ra định đề 5. Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề v�  tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển v�  thay thế định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Ơclit, v�  do đó cũng l�  phủ định của định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi l�  tiên đề Lobachevskii. Tiên đề này có nội dung như sau: "Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho". Rồi từ đó Lobachevski đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này "trái mắt", trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Ơclit quen thuộc.  

Ngày 11-2-1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về hình học phi Ơclit trên diễn đàn vật lý - ssó học của trường đại học tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cức về hình học phi Ơclit của Lobachevski với tiêu đề "Về các cơ sở hình học", đã được đăng ở tờ báo "Thông báo Cadan" xuất bản năm 1829. Còn công trình của J.Bolyain về hình học phi Ơclit được công bố vào năm 1831 ( độc lập với Lobachevski ). Ngày nay, chúng ta gọi hình học phi Ơclit (do Lobachevski v�  J.Bolyai đã độc lập với nhau v�  đồng thời tìm ra ) l�  hình học Lobachevski hoặc hình học Lobachevski-Bolyai. Ngày 11.2.1826 được thế giới gọi l�  ngày ra đời của hình học này.

Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm v�  tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu v�  công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiét hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên "Hình học phẳng", trong đó ông đã chỉ rõ hình học Ơclit chỉ l�  trường hợp giới hạn của hình học phi Ơclit của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuôí cùng này cho trường đại học tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.

Ngày 24-2-1856. Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.

Công trình nghiên cứu của Lobachevski v�  J.Bolyai về hình học phi Ơlit l�  một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra mọt kỷ nghiên mới của toán học, của vật lý v�  của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.  

Hết phần 3, mời bạn đón xem tiếp phần 4 về MÔ HÌNH POINCARÉ.

[ngocson52]

Phần 4:

Vào năm 1882, nh�  toán học H.J.Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi l�  mô hình Poincare) của hình học Lobachevskii phẳng, khi sử dụng các "vật liệu" lấy từ hình học Ơclit phẳng.  

Trong mặt phẳng Ơclit, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, m�  ta gọi l�  "nửa trên" v�  "nửa dưới". Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của hình học Lobachevski phẳng: "Điểm" l�  điểm Ơclit thông thường thuộc "nửa trên" v�  không thuộc x; "Đường thẳng" l�  nửa đường tròn thông thường thuộc "nửa trên" v�  có tâm thuộc x, hoặc t�  tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x v�  vuông góc với x.

Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, m�  cụ thể l�  các tương quan cơ bản sau đây: "thuộc", "ở giữa", "bằng nhau" ( còn gọi l�  "toàn đẳng") , trong đó "thuộc" v�  "ở giữa" được hiểu như thông thường.

Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của hình học Lobachevskii đối với mô hình nêu trên, v�  thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.  

Thêm vào những điều ở trên, ta có định lý sau đây của hình học Lobachevskii: "Tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn hai góc vuông".
Việc xây dựng thành công mô hình của hình học Lobachevskii đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevskii l�  phi mâu thuẫn.
b. Từ các tiên đề khác của hình học Ơclit không thể suy ra được tiên đề Ơclit.  

Hình học Lobachevskii không phải l�  hình học phi Ơclit duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Bernhard Rienmann (1826-1866) người Đức cũng l�  hình học phi Ơclit. Để có được hệ tiên đề của hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của hình học Ơclit nhiều hơn l�  những thay đổi m�  Lobachevskii đã thực hiện.  
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nh�  toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Balan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn kiền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích v�  tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lý, quá trình sinh học (hoạt động của tim người, phát triển của cây trồng)...

Đến đây tôi xin kết thúc loạt bài viết về Hình học phi Ơclit. Những thông tin trên đây được lấy từ cuốn:"Các câu chuyện toán học" NXBGD  
(alpha).

[ngocson52]

Tôi xin nói thêm 1 ý nhỏ:
Các bạn yêu thích câu chuyện về hình học phi Euclide có thể tìm đọc cuốn sách cực hay ìBa nhà toán học” của tác giả Nga Anna Licanova, Nxb KH&KT 1976. Đó là cuộc hành trình dẫn bạn vào với 1 thế giới trừu tượng và câu chuyện rất thú vị xoay quanh 3 nhân vật chính là
J. Bolyai, Gauss và Lobachevsky. :pea