Đến nội dung

Hình ảnh

$AG$ đi qua điểm cố định

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NMD202

NMD202

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Cho hai đường tròn $(O1)$ và $(O2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M.m$ là tiếp tuyến chung $(O_1),(O_2)$ tại $M.$ Từ điểm $A$ bất kỳ thuộc $(O_2)$ vẽ tiếp tuyến tại $A$ cắt $(O_1)$ tại $B,C.$ Các tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O_1)$ cắt $m$ tại $I,J.$ Tiếp tuyến tại $I,J$ của $(O_2)$ cắt nhau tại $G.$

Chứng minh $AG$ đi qua một điểm cố định.

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (2).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-01-2019 - 10:18

@NguyenMinhDuy - frTK19.LQĐ.BĐ 

Bài hình CĐT LQĐ Bình Định  https://diendantoanh...ường-thẳng-qua/


#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Ta sẽ chứng minh $AG$ luôn đi qua $M$ cố định.

Qua phép nghịch đảo tâm $M$ phương tích bất kì, ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới như sau:

Bài toán. Cho hai đường thẳng $d_1 \parallel d_2$ và điểm $M$ nằm trong phần mặt phẳng giữa hai đường thẳng, $m$ là đường thẳng qua $M$ song song $d_1.A$ là điểm bất kì nằm trên $d_2$ sao cho tồn tại một đường tròn qua $A,M$ tiếp xúc $d_2$ và cắt $d_1$ tại $B,C.$ Một đường tròn qua $B,M$ tiếp xúc $d_1$ và cắt $m$ tại $I \neq M;$ một đường tròn qua $C,M$ tiếp xúc $d_1$ và cắt $m$ tại $J \neq M.$ Đường tròn qua $I,M$ tiếp xúc $d_2$ cắt đường tròn qua $J,M$ tiếp xúc $d_2$ tại $G \neq M.$ Khi đó $\overline{G,A,M}.$

Chứng minh. Gọi $(ABC)$ cắt lại $m$ tại $M' \neq M$ thì $\widehat{MM'A}= \widehat{MAD}= \widehat{AMM'} \Rightarrow \Delta AMM'$ cân tại $A.$

Tương tự ta cũng chứng minh được các tam giác $ABC,BMI,CMJ,DMI,EMJ$ cân tại $A,B,C,D,E$ với $D,E$ là tiếp điểm của $(GMI),(GMJ)$ và $d_2.$

Ta được $BD,CE$ là trung trực $MI,MJ$ nên $BDEC$ là hình chữ nhật, lại có $A$ thuộc trung trực $BC$ nên $A$ là trung điểm $DE.$

Lại có $AD,AE$ tiếp xúc $(GMI),(GMJ)$ nên $A$ thuộc trục đẳng phương của $(GMI),(GMJ)$ chính là $MG.$ Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 15-01-2019 - 13:26

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh