Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại một điểm thuộc $MG$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-08-2018 - 21:34

Cho $\Delta ABC$, trọng tâm $G$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_{1}, B_{1},C_{1}$ .$A_{2},B_{2},C_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trung điểm $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1}$. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại một điểm thuộc MG.

P/s: Mọi người vui lòng chỉ rõ giùm mình hướng và cách giải bài này với ạ, mình vẫn đang ngờ ngợ :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 05-08-2018 - 21:37


#2 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 06-08-2018 - 07:59

Cho $\Delta ABC$, trọng tâm $G$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_{1}, B_{1},C_{1}$ .$A_{2},B_{2},C_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trung điểm $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1}$. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại một điểm thuộc MG.

P/s: Mọi người vui lòng chỉ rõ giùm mình hướng và cách giải bài này với ạ, mình vẫn đang ngờ ngợ :D

Bài này có trong tài liệu chuyên Toán 10 Hình học.



#3 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-08-2018 - 16:13

Bài này có trong tài liệu chuyên Toán 10 Hình học.

Thì em lấy trong sách đó ra mà ạ, cơ mà em không biết làm nên mới đăng lên đây ạ, anh cho em tham khảo cách giải với ạ, em cảm ơn nhiều.



#4 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 06-08-2018 - 18:09

Thì em lấy trong sách đó ra mà ạ, cơ mà em không biết làm nên mới đăng lên đây ạ, anh cho em tham khảo cách giải với ạ, em cảm ơn nhiều.

có lời giải mà em :))



#5 hozymary

hozymary

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Đã gửi 06-08-2018 - 18:46

Bài này chủ yếu là dựa vào hai bổ đề:

1) Cho điểm $M$ bất kì trong tam giác $ABC$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là điểm đổi xứng của $M$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ thì $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy

Chứng minh đơn giản, để ý các hình bình hành được tạo ra. Ba đường đó đồng quy tại trung điểm mỗi đường.

2) Cho tứ giác $ABCD$, gọi $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ thì trung điểm $AC, BD, EF$ thẳng hàng (nói cách khác, trung điểm của các đường chéo của một tứ giác toàn phần thẳng hàng)

Đường thằng này gọi là đường thẳng Newton-Gauss, có thể chứng minh bằng cách dùng diện tích hình bình hành hoặc định lý Menelaus.

Quay trở lại bài toán. Gọi $M_1, M_2, M_3$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Áp dụng bổ đề 2 cho ta $A, A_2, M_1$ thẳng hàng. Tương tự $B, B_2, M_2$ thẳng hàng và $C, C_2, M_3$ thẳng hàng. Như vậy ta cần chứng minh $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy, chính là bổ đề 1 ở trên.

Mặt khác chúng đồng quy tại trung điểm $AM_1$, mà dễ dàng chứng minh được $G$ là trọng tâm tam giác $AMM_1$ nên suy ra điểm đồng quy thuộc $MG$

 

P/S: không biết có lời giải nào hay hơn bằng vectơ không, bài này là toán 10 mà nhỉ



#6 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-08-2018 - 23:31

Bài này chủ yếu là dựa vào hai bổ đề:
1) Cho điểm $M$ bất kì trong tam giác $ABC$. Gọi $M_1, M_2, M_3$ lần lượt là điểm đổi xứng của $M$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ thì $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy
Chứng minh đơn giản, để ý các hình bình hành được tạo ra. Ba đường đó đồng quy tại trung điểm mỗi đường.
2) Cho tứ giác $ABCD$, gọi $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ thì trung điểm $AC, BD, EF$ thẳng hàng (nói cách khác, trung điểm của các đường chéo của một tứ giác toàn phần thẳng hàng)
Đường thằng này gọi là đường thẳng Newton-Gauss, có thể chứng minh bằng cách dùng diện tích hình bình hành hoặc định lý Menelaus.
Quay trở lại bài toán. Gọi $M_1, M_2, M_3$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $BC,CA,AB$. Áp dụng bổ đề 2 cho ta $A, A_2, M_1$ thẳng hàng. Tương tự $B, B_2, M_2$ thẳng hàng và $C, C_2, M_3$ thẳng hàng. Như vậy ta cần chứng minh $AM_1, BM_2, CM_3$ đồng quy, chính là bổ đề 1 ở trên.
Mặt khác chúng đồng quy tại trung điểm $AM_1$, mà dễ dàng chứng minh được $G$ là trọng tâm tam giác $AMM_1$ nên suy ra điểm đồng quy thuộc $MG$
 
P/S: không biết có lời giải nào hay hơn bằng vectơ không, bài này là toán 10 mà nhỉ

Làm sao để $A,A_{2},M_{1}$ thẳng hàng theo bổ đề 2 vậy ạ, em chưa hình dung ra lắm

có lời giải mà em :))


Không có em mới đăng lên đây chứ :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 06-08-2018 - 23:32


#7 hozymary

hozymary

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Đã gửi 07-08-2018 - 14:04

Làm sao để $A,A_{2},M_{1}$ thẳng hàng theo bổ đề 2 vậy ạ, em chưa hình dung ra lắm

Gọi trung điểm $AM$ là $X$, trung điểm $B_1C_1$ là $Y$ và trung điểm $BC$ là $Z$ thì $X,Y,Z$ thẳng hàng. Đồng thời $Y$ là trung điểm $MA_2$, $Z$ là trung điểm $MM_1$

Nên ta có $AA_2\parallel XY$ và $AM_1\parallel XZ$ (đường trung bình), suy ra ba điểm $A,A_2,M_1$ thẳng hàng

 

P/S: em gì, mình cùng tuổi mà



#8 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 01-09-2018 - 23:10

Làm sao để $A,A_{2},M_{1}$ thẳng hàng theo bổ đề 2 vậy ạ, em chưa hình dung ra lắm


Không có em mới đăng lên đây chứ :D

Có lời giải chứ.  Lời giải trong quyển bài tập ấy.


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#9 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 06-09-2018 - 17:23

Đồng quy tại điểm isotomcomplement của M wrt ABC

        AQ02

                                 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh