cho đa thức P(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa thức G(x)=P(x)-P'(x) cũng có n nghiệm dương phân biệt
cho đa thức P(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt.
#1
Đã gửi 08-08-2018 - 22:55
:ph34r:người đàn ông bí ẩn
#2
Đã gửi 09-08-2018 - 19:52
cho đa thức P(x) bậc n có n nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa thức G(x)=P(x)-P'(x) cũng có n nghiệm dương phân biệt
$P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt gọi là $a_{n}>a_{n-1}>...>a_{2}>a_{1}>0$
Khi đó $P(x)=m(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})...(x-a_{n})$ ( không mất tính TQ giả sử $m>0$ )
Khi ấy $P'(x)=$m$\sum_{j=1}^{n}\prod_{i=1;i\neq j}^{n}(x-a_{i})$
Xét $2$ TH : $n$ chẵn và $n$ lẻ
Nếu $n$ chẵn ta thấy $P(a_{1})=P(a_{2})=P(a_{3})=...=P(a_{n})=0$
cũng đồng thời suy ra được $P'(a_{1})<0;P'(a_{2})>0;P'(a_{3})<0;P'(a_{4})>0;...;P'(a_{n})>0$
suy ra $G(a_{1})>0;G(a_{2})<0;G(a_{3})>0;G(a_{4})<0;...;G(a_{n})<0$
Vì $P(x)$ là đa thức có bậc $n$ => $P'(x)$ là đa thức có bậc không quá $n-1$
=> $G(x)$ là đa thức có bậc $n$ với hệ số cao nhất là $m>0$
=> $\lim_{x\rightarrow +\propto }G(x)=+\propto$ => $\exists a>a_{n}$ mà $G(a)>0$
Theo định lý về giá trị trung gian
=> $G(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc vào các khoảng $(a_{1};a_{2});(a_{2};a_{3});(a_{3};a_{4});...;(a_{n};a)$
$G(x)$ có bậc $n$
=> $G(x)$ có đúng $n$ nghiệm dương phân biệt
TH $n$ lẻ hoàn toàn tương tự chỉ việc đổi tất cả $>0$ thành $<0$ và ngược lại
P/s: Bài này cũng có thể dùng Rolle nhưng cũng tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 10-08-2018 - 17:29
- Maytroi và thanhdatqv2003 thích
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
#3
Đã gửi 12-08-2018 - 19:51
Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.
Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.
- Maytroi và BurakkuYokuro11 thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#4
Đã gửi 13-08-2018 - 18:36
Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.
Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.
thế nhưng nghiệm cuối đâu chỉ ra nó phân biệt với các nghiệm trên đâu nhỉ ?
:ph34r:người đàn ông bí ẩn
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh