Ngày 1
Nguồn: Nguyễn Thành Đạt
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 09-08-2018 - 21:28
Ngày 1
Nguồn: Nguyễn Thành Đạt
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 09-08-2018 - 21:28
Ngày 1
Câu I. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x}{2x^2+y^2}=\frac{4}{3} & & \\ y-\frac{y}{2x^2+y^2}=\frac{2}{3} & & \end{matrix}\right. $$
Câu II. Biết rằng $a,b,c$ là ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) $a-b$ là số nguyên tố
ii) $ab+c(a+b)=3c^2$
Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.
Câu III. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1} =\frac{3}{2}$ Chứng minh rằng:
$\sqrt{ \frac{a^2+1}{2} } + \sqrt{ \frac{b^2+1}{2} } + \sqrt{ \frac{c^2+1}{2} } + 3 \geq 2( \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c}).$
Câu IV 1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AB.CD=AD.BC$.
a) Giả sử $ABCD$ là từ giác nội tiếp và $M$ là trung điểm$BD$. Chứng minh răng $BD$ là phân giác góc $\widehat{AMC}$
b) Giả sử tứ giác $ABCD$ không nội tiếp. Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $BD$ sao cho $\widehat{PAD}=\widehat{CAB}.$ Chứng minh rằng $BD$ là phân giác $\widehat{APC}.$
2. Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn. Phân giác góc $\widehat{BAD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ tại $P$. $PB,PD$ theo thứ tự cắt $CD,CB$ tại $E,E$. Gọi $J,L$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PBF,PDE$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEF$. Chứng minh $KJ=KL$.
Câu V. CHo $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xét lưới điểm nguyên trên mặt phẳng tọa độ. Có hai loại bước chuyển, một bước chuyển lọa $A$ là di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm a, y\pm a)$, bước chuyển lọa $B$ di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm b, y \pm b)$. Giả sử ban đầu ta ở vị trị $(0,0)$ ta thực hiện luân phiên các bước chuyển loại $A$ và $B$, bắt đầu từ loại $A$ trước. Hỏi sau một số hữu hạn bước ta có thể đến được những điểm nào trong mặt phẳng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 15-08-2018 - 09:51
Câu I. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{x}{2x^2+y^2}=\dfrac{4}{3} & & (1) \\ y-\dfrac{y}{2x^2+y^2}=\dfrac{2}{3} & & (2) \end{matrix}\right. $$
Điều kiện $x>0$. Nếu $x=y$ ta tìm được $x=y=1$ là nghiệm của HPT. Xét $x\ne y$
Ta có $(1)\Rightarrow 1+\frac{1}{2x^2+y^2}=\frac{4}{3x}, (2)\Rightarrow 1-\frac{1}{2x^2+y^2}=\frac{2}{3y}$
$\Rightarrow \frac{4}{3x}+\frac{2}{3y}=2\Rightarrow 2y+x=3xy$
Mặt khác $2x\cdot (1)-y\cdot (2)\Rightarrow 6x^2-3y^2+3=8x-2y\Rightarrow 2x^2-(3-y)x-y^2+1=0 \ (3)$
Ta có $\Delta_{(3)} = (3-y)^2-4\cdot 2(-y^2+1)=(3y-1)^2\Rightarrow x=\frac{3-y\pm (3y-1)}{4}$
TH1: $x=\frac{1+y}{2}\Rightarrow 3y^2-2y-1=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1, y=1\\ x=\dfrac{1}{3}, y=-\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.$
TH2: $x=1-y\Rightarrow 3y^2-2y+1=0$ (vô nghiệm)
Vậy các nghiệm của HPT là $(x,y)\in \left\{\left(1,1\right), \left(\frac{1}{3},\frac{-1}{3}\right)\right\}$
Câu II. Biết rằng $a,b,c$ là ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) $a-b$ là số nguyên tố
ii) $ab+c(a+b)=3c^2$
Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.
Đặt $a-b=p$ với $p$ là số nguyên tố. Ta có $(b+p)b+c(b+2p)=3c^2\Rightarrow p(c+b)=(3c+b)(c-b)$
Dễ thấy $a>c>b\Rightarrow p>c-b\Rightarrow (p,c-b)=1\Rightarrow p \mid 3c+b$
Đặt $3c+b=kp \ (k\in \mathbb{N}^{*})$ thì ta được $c+b=k(c-b)$ . Như vậy
$2k+1=\frac{3c+b}{c-b}=\frac{pk}{c-b}\Rightarrow (2k+1)(c-b)=pk$
Do $(2k+1,k)=(p,c-b)=1$ nên $k \mid c-b$ và $c-b\mid k$, tức $k=c-b$. Suy ra $c+b=(c-b)^2$
$\Rightarrow b^2-(2c+1)b+c^2-c=0\ (1)\\ \Delta_{(1)} = (2c+1)^2-4(c^2-c)=8c+1$
PT $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta_{(1)}$ là số chính phương, vậy ta có $8c+1$ là số chính phương
Câu V. CHo $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xét lưới điểm nguyên trên mặt phẳng tọa độ. Có hai loại bước chuyển, một bước chuyển lọa $A$ là di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm a, y\pm a)$, bước chuyển lọa $B$ di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm b, y \pm b)$. Giả sử ban đầu ta ở vị trị $(0,0)$ ta thực hiện luân phiên các bước chuyển loại $A$ và $B$, bắt đầu từ loại $A$ trước. Hỏi sau một số hữu hạn bước ta có thể đến được những điểm nào trong mặt phẳng.
Mk xin phép được chém gió
Bổ đề : Cho $2$ số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau khi đó $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$
Ở đây mở rộng ra chút nữa là$\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$
Cách chứng minh sử dụng thuật toán Euclid
Lời giải:
Dễ thấy khi thực hiện như trên thì hoành độ và tung độ của mỗi điểm được tạo thành có dạng $ma+nb$ với $m,n\in \mathbb{Z}$
Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$
Ban đầu cho điểm $(0;0)$ nên sau khi thực hiện các bước chuyển có thể đến được tất cả các điểm $(x;y)$ $x,y\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $x+y\vdots 2$
Ngược lại giả sử có thể đến đc điểm $(x;y)$ sao cho $x+y$ lẻ
dễ thấy $(x\pm a)+(y\pm a)\equiv x+y(mod 2)$
hay $(x\pm b)+(y\pm b)\equiv x+y(mod 2)$
mà bắt đầu $(0;0)$ => các điểm sau phải có tổng tung + hoành chia hết cho $2$
Vậy có thể đến được tất cả các điểm $(x;y)$ $x,y\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $x+y\vdots 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 12-08-2018 - 19:37
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
Câu hình của thầy Nguyễn Lê Phước : 4.1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 10-08-2018 - 10:39
WangtaX
Lời giải bài bất đẳng thức
Từ giả thiết, ta có:
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}= \frac{3}{2}$
$<=>\frac{3}{2}+\sum \frac{1}{1+a}= 3<=>\frac{3}{2}=3-\sum \frac{1}{1+a}$
$<=>\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}= \frac{3}{2}$
Ta có nhận xét: $\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}= \sqrt{\frac{(1+1)(a^2+1)}{4}}\geq \frac{\sqrt{(a+1)^2}}{2}= \frac{a+1}{2}$
Tương tự: $\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}\geq\frac{b+1}{2} ,\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}\geq\frac{c+1}{2}$
VT$\geq \sum \frac{a+1}{2}+3= \sum \frac{a+1}{2}+2\sum \frac{a}{a+1}$
$\sum \frac{a+1}{2}+\sum \frac{2a}{a+1}\geq \sum 2\sqrt{\frac{a+1}{2}.\frac{2a}{a+1}}= 2\sum \sqrt{a}$=VP
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1
$\bigstar \bigstar \bigstar$ ALBERT EINSTEIN $\bigstar \bigstar \bigstar$
Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$
Bạn có thể giải thích chỗ này cho mk đc ko ?
♡ϻy♥♏oonlight♡
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh