Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, sao cho tổng các chữ số của số đó chia hết cho 4 ?
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, sao cho tổng các chữ số của số đó chia hết cho 4 ?
WangtaX
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, sao cho tổng các chữ số của số đó chia hết cho 4 ?
Các số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$ với $a_{1}\geq 1$ và nhận thấy $4\leq a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\leq 36$.
Số các số thỏa yêu cầu cũng là số bộ nghiệm của các phương trình:
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 4$ với $ a_{1}\geq 1\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 3$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{6}^{3}=20$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 7$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{10}^{3}=120$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 11$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{14}^{3}$ nhưng có $ C_{4}^{1}$ số có một chữ số $\geq 10\rightarrow C_{14}^{3}-C_{4}^{1}=360$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 15$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{18}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{18}^{3}-C_{4}^{1}=812$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 19$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{22}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{22}^{3}-C_{4}^{1}=1536$
còn tiếp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 15-08-2018 - 10:12
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
Các số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$ với $a_{1}\geq 1$ và nhận thấy $4\leq a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\leq 36$.
Số các số thỏa yêu cầu cũng là số bộ nghiệm của các phương trình:
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 4$ với $ a_{1}\geq 1\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 3$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{6}^{3}=20$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 7$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{10}^{3}=120$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 11$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{14}^{3}$ nhưng có $ C_{4}^{1}$ số có một chữ số $\geq 10\rightarrow C_{14}^{3}-C_{4}^{1}=360$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 15$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{18}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{18}^{3}-C_{4}^{1}=812$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 19$ với $a_{1}\geq 0$
$\rightarrow C_{22}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{22}^{3}-C_{4}^{1}=1536$
còn tiếp
Có thực vậy không anh ?
Vì số có 4 chữ số $\left \{ 1000,1001,...,9999 \right \}$ chỉ có 9000 số
Mà 10808 số thoả mãn ĐK ????
WangtaX
LỜI GIẢI :
Đặt $A=\left \{ \overline{abcd} : a\geq 1 , a+b+c+d \vdots 4 \right \}$
Xét $b+c+d=4k+x$ $(0\leq x\leq 3)$
+) $x=3$ $=> a \in \left \{ 1,5,9 \right \}$
+) $x\in \left \{ 0,1,2 \right \}$ $=> a\in \left \{ 4-x ;8-x \right \}$
Đặt $B = \left \{ \underline{bcd}:b+c+d=4k+3 \right \}$
$C=\left \{ \underline{bcd }:b+c+d=4k+x ; x \in \left \{ 0,1,2 \right \}\right \}$
(Với $\underline{bcd}=\overline{abcd}-1000.a$
Ta có : $B\cap C=\varnothing ; \left | B\cup C \right |=1000$
=> $\left | A \right |=3\left | B \right |+2\left | C \right |=2000+\left | B \right |$
TH1: $b\equiv 0(mod 4)$ :
Có 3 cách chọn b
Khi đó $c+d \in \left \{ 3;7;11;15 \right \}$
Để ý rằng với 1 cách chọn c, ta chỉ được 1 cách chọn d
Với $c+d=3$ => $0\leq c\leq 3$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$
.
.
Với $c+d=15$ => $6\leq c\leq 9$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$
Tương tự : ...
Ta tìm được số số t/m ĐK bài toán là $2249$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 15-08-2018 - 10:37
WangtaX
LỜI GIẢI :
Đặt $A=\left \{ \overline{abcd} : a\geq 1 , a+b+c+d \vdots 4 \right \}$
Xét $b+c+d=4k+x$ $(0\leq x\leq 3)$
+) $x=3$ $=> a \in \left \{ 1,5,9 \right \}$
+) $x\in \left \{ 0,1,2 \right \}$ $=> a\in \left \{ 4-x ;8-x \right \}$
Đặt $B = \left \{ \underline{bcd}:b+c+d=4k+3 \right \}$
$C=\left \{ \underline{bcd }:b+c+d=4k+x ; x \in \left \{ 0,1,2 \right \}\right \}$
(Với $\underline{bcd}=\overline{abcd}-1000.a$
Ta có : $B\cap C=\varnothing ; \left | B\cup C \right |=1000$
=> $\left | A \right |=3\left | B \right |+2\left | C \right |=2000+\left | B \right |$
TH1: $b\equiv 0(mod 4)$ :
Có 3 cách chọn b
Khi đó $c+d \in \left \{ 3;7;11;15 \right \}$
Để ý rằng với 1 cách chọn c, ta chỉ được 1 cách chọn d
Với $c+d=3$ => $0\leq c\leq 3$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$
.
.
Với $c+d=15$ => $6\leq c\leq 9$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$
Tương tự : ...
Ta tìm được số số t/m ĐK bài toán là $2249$
^-^ Mấy bạn đăng hay lắm. Nếu bạn có lời giải thì full vào topic cho mình với.Mình cảm ơn!
''.''
^-^ Mấy bạn đăng hay lắm. Nếu bạn có lời giải thì full vào topic cho mình với.Mình cảm ơn!
Mình thấy lời giải vậy là vững rồi =.=
Chỉ cần xét 4 TH là $b\equiv 0;b\equiv 1;b\equiv 2;b\equiv 3(mod 4)$
2 TH đầu có 3 cách chọn b
2 TH cuối có 2 cách chọn b
Lại có : c+d = k (Với $0\leq k\leq 9$)
Thì Số cách chọn (c,d) là k+1
c+d =k (Với $10\leq k\leq 18$)
Thì số cách chọn (c,d) là 19-k
WangtaX
Hi, Đề thi HSG vòng 2 Long An 2018
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 26-09-2018 - 08:39
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
Một cách giải khác, dùng hàm sinh:
Lập hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:
$G(x)=\left ( x+x^{2}+...+x^{9} \right )\left ( 1+x+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{x(1-x^{9})\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{(1-x)^{4}}$
Đáp số là tổng các hệ số của các $x^{4k}$ với $k=\overline{1,9}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa $G(x)$, ta được:
$G(x)=20x^{4}+120x^{8}+342x^{12}+564x^{16}+597x^{20}+405x^{24}+165x^{28}+35x^{32}+x^{36}$
Vậy số các số thỏa yc là:
$20+120+342+564+597+405+165+35+1= \boxed{2249}$
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
Mình xin dùng hàm sinh của bạn nhưng vận dụng hơi khác một tí xíu!Một cách giải khác, dùng hàm sinh:
Lập hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:
$G(x)=\left ( x+x^{2}+...+x^{9} \right )\left ( 1+x+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{x(1-x^{9})\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{(1-x)^{4}}$
Đáp số là tổng các hệ số của các $x^{4k}$ với $k=\overline{1,9}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa $G(x)$, ta được:
$G(x)=20x^{4}+120x^{8}+342x^{12}+564x^{16}+597x^{20}+405x^{24}+165x^{28}+35x^{32}+x^{36}$
Vậy số các số thỏa yc là:
$20+120+342+564+597+405+165+35+1= \boxed{2249}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 18-02-2023 - 20:22
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh