Chủ đề này có 8 trả lời

[BurakkuYokuro11]

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, sao cho tổng các chữ số của số đó chia hết cho 4 ?

 

[dottoantap]

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, sao cho tổng các chữ số của số đó chia hết cho 4 ?

Các số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$ với $a_{1}\geq 1$ và nhận thấy $4\leq a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\leq 36$.

Số các số thỏa yêu cầu cũng là số bộ nghiệm của các phương trình:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 4$ với $ a_{1}\geq 1\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 3$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{6}^{3}=20$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 7$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{10}^{3}=120$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 11$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{14}^{3}$ nhưng có $ C_{4}^{1}$ số có một chữ số $\geq 10\rightarrow C_{14}^{3}-C_{4}^{1}=360$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 15$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{18}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{18}^{3}-C_{4}^{1}=812$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 19$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{22}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{22}^{3}-C_{4}^{1}=1536$

còn tiếp

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 15-08-2018 - 10:12

[BurakkuYokuro11]

 

Các số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$ với $a_{1}\geq 1$ và nhận thấy $4\leq a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\leq 36$.

Số các số thỏa yêu cầu cũng là số bộ nghiệm của các phương trình:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 4$ với $ a_{1}\geq 1\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 3$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{6}^{3}=20$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 7$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{10}^{3}=120$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 11$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{14}^{3}$ nhưng có $ C_{4}^{1}$ số có một chữ số $\geq 10\rightarrow C_{14}^{3}-C_{4}^{1}=360$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 15$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{18}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{18}^{3}-C_{4}^{1}=812$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}= 19$ với $a_{1}\geq 0$

$\rightarrow C_{22}^{3}$; tương tự $\rightarrow C_{22}^{3}-C_{4}^{1}=1536$

còn tiếp

 

 

Có thực vậy không anh ?
Vì số có 4 chữ số  $\left \{ 1000,1001,...,9999 \right \}$ chỉ có 9000 số

Mà 10808 số thoả mãn ĐK ????

[BurakkuYokuro11]

LỜI GIẢI :

Đặt $A=\left \{ \overline{abcd} : a\geq 1 , a+b+c+d \vdots 4 \right \}$

 

Xét $b+c+d=4k+x$   $(0\leq x\leq 3)$ 

+) $x=3$  $=> a \in \left \{ 1,5,9 \right \}$

+) $x\in \left \{ 0,1,2 \right \}$   $=> a\in \left \{ 4-x ;8-x \right \}$

 

Đặt $B = \left \{ \underline{bcd}:b+c+d=4k+3 \right \}$

       $C=\left \{ \underline{bcd }:b+c+d=4k+x ; x \in \left \{ 0,1,2 \right \}\right \}$

(Với $\underline{bcd}=\overline{abcd}-1000.a$

 

Ta có : $B\cap C=\varnothing ; \left | B\cup C \right |=1000$

=> $\left | A \right |=3\left | B \right |+2\left | C \right |=2000+\left | B \right |$

 

TH1: $b\equiv 0(mod 4)$ : 

Có 3 cách chọn b

Khi đó $c+d \in \left \{ 3;7;11;15 \right \}$

Để ý rằng với 1 cách chọn c, ta chỉ được 1 cách chọn d

Với $c+d=3$  => $0\leq c\leq 3$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$

.

.

Với $c+d=15$ => $6\leq c\leq 9$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$

Tương tự : ...

Ta tìm được số số t/m ĐK bài toán là $2249$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 15-08-2018 - 10:37

[didifulls]

LỜI GIẢI :

Đặt $A=\left \{ \overline{abcd} : a\geq 1 , a+b+c+d \vdots 4 \right \}$

 

Xét $b+c+d=4k+x$   $(0\leq x\leq 3)$ 

+) $x=3$  $=> a \in \left \{ 1,5,9 \right \}$

+) $x\in \left \{ 0,1,2 \right \}$   $=> a\in \left \{ 4-x ;8-x \right \}$

 

Đặt $B = \left \{ \underline{bcd}:b+c+d=4k+3 \right \}$

       $C=\left \{ \underline{bcd }:b+c+d=4k+x ; x \in \left \{ 0,1,2 \right \}\right \}$

(Với $\underline{bcd}=\overline{abcd}-1000.a$

 

Ta có : $B\cap C=\varnothing ; \left | B\cup C \right |=1000$

=> $\left | A \right |=3\left | B \right |+2\left | C \right |=2000+\left | B \right |$

 

TH1: $b\equiv 0(mod 4)$ : 

Có 3 cách chọn b

Khi đó $c+d \in \left \{ 3;7;11;15 \right \}$

Để ý rằng với 1 cách chọn c, ta chỉ được 1 cách chọn d

Với $c+d=3$  => $0\leq c\leq 3$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$

.

.

Với $c+d=15$ => $6\leq c\leq 9$ => Có 4 cách chọn cặp $(c,d)$

Tương tự : ...

Ta tìm được số số t/m ĐK bài toán là $2249$

^-^ Mấy bạn đăng hay lắm. Nếu bạn có lời giải thì full vào topic cho mình với.Mình cảm ơn!

[BurakkuYokuro11]

^-^ Mấy bạn đăng hay lắm. Nếu bạn có lời giải thì full vào topic cho mình với.Mình cảm ơn!

Mình thấy lời giải vậy là vững rồi =.= 

Chỉ cần xét 4 TH là $b\equiv 0;b\equiv 1;b\equiv 2;b\equiv 3(mod 4)$

 

2 TH đầu có 3 cách chọn b 

2 TH cuối có 2 cách chọn b

 

Lại có : c+d = k (Với $0\leq k\leq 9$)

Thì Số cách chọn (c,d) là k+1

c+d =k (Với $10\leq k\leq 18$)

Thì số cách chọn (c,d) là 19-k

[dottoantap]

Hi, Đề thi HSG vòng 2 Long An 2018

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 26-09-2018 - 08:39

[dottoantap]

Một cách giải khác, dùng hàm sinh:

Lập hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:

$G(x)=\left ( x+x^{2}+...+x^{9} \right )\left ( 1+x+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{x(1-x^{9})\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{(1-x)^{4}}$

Đáp số là tổng các hệ số của các $x^{4k}$ với $k=\overline{1,9}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa $G(x)$, ta được:

$G(x)=20x^{4}+120x^{8}+342x^{12}+564x^{16}+597x^{20}+405x^{24}+165x^{28}+35x^{32}+x^{36}$

Vậy số các số thỏa yc là:

$20+120+342+564+597+405+165+35+1= \boxed{2249}$

 

[Nobodyv3]

Một cách giải khác, dùng hàm sinh:
Lập hàm sinh cho mỗi chữ số, theo qui tắc xoắn ta có:
$G(x)=\left ( x+x^{2}+...+x^{9} \right )\left ( 1+x+...+x^{9} \right )^{3}=\frac{x(1-x^{9})\left ( 1-x^{10} \right )^{3}}{(1-x)^{4}}$
Đáp số là tổng các hệ số của các $x^{4k}$ với $k=\overline{1,9}$ trong khai triển chuỗi lũy thừa $G(x)$, ta được:
$G(x)=20x^{4}+120x^{8}+342x^{12}+564x^{16}+597x^{20}+405x^{24}+165x^{28}+35x^{32}+x^{36}$
Vậy số các số thỏa yc là:
$20+120+342+564+597+405+165+35+1= \boxed{2249}$

Mình xin dùng hàm sinh của bạn nhưng vận dụng hơi khác một tí xíu!
Ta có hàm sinh :
$G(x)=\left ( x+x^{2}+...+x^{9} \right )\left ( 1+x+...+x^{9} \right )^{3}$
Và cũng biết rằng 4 nghiệm của phương trình $x^4=1$ là $1,\,-1,\,i,\,-i$ nên áp dụng định lý RUF ta được số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac {G(1)+G(-1)+G(i)+G(-i)}{4} $
Trong đó,
$G(1)=9\cdot 10^3\\
G(-1)=0\\
G(i)=i(1+i)^3=-2-2i\\
G(-i)=(-i)(1-i)^3=-2+2i$
Nên :
$N=\frac {9\cdot 10^3-4}{4}=\boldsymbol {2249}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 18-02-2023 - 20:22