Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] Hai bài toán mỗi ngày.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 173 trả lời

#41 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 25-08-2018 - 04:54

Lời giải bài 29: Từ cách xác định dãy $(u_n)$ ta có nhận xét sau:

Nếu $\exists m\in \mathbb{N^*}$ để $u_{m}=u_{m+1}$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=u_m$.

-Khi $a\in (0;1)\cup [3;4)\cup [6;12)$ thì $u_1=u_2$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a$.

-Khi $a\in [1;2)\cup [4;5)$ thì $u_3=u_4=a+2$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+2$.

-Khi $a\in [2;3)\cup [5;6)$ thì $u_2=u_3=a+1$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+1$.

-Khi $a\in [12;13)$ thì $u_2=u_1-1$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a-1=11+\text{{a}}$.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo $m$: Nếu tồn tại $u_i\in[12+m;12+m+1)$ thì tồn tại $u_j\in[11,12)$ với $j$ đủ lớn.

Thật vậy, nếu $u_t\in [12+k+1,12+k+2)$.

Thì $u_{t+1}=u_t+[\sqrt{u_t}]-[\frac{u_t}{3}]<u_t$.

Suy ra: $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=11+\text{{a}}$.

Kết luận: 

-Nếu $a\in (0;1)\cup [3;4)\cup [6;12)$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a$.

-Nếu $a\in [1;2)\cup [4;5)$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+2$.

-Nếu $a\in [2;3)\cup [5;6)$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+1$.

-Nếu $a\ge 12$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=11+\text{{a}}$.

Lời giải bài 30: 

+ $f$ đơn ánh. Thật vậy nếu $f(a)=f(b)\implies a+f(y)=f(f(a)+y)=f(f(b)+y)=b+f(y)$ với mọi $y\implies a=b$.

Cho $x=0$ ta được $f(y+f(0))=f(y)\implies y+f(0)=y\implies f(0)=0$.

Trong phương trình hàm ở đề bài cho $y=0\implies f(f(x))=x(1)$.

Thay $f(x)=x$ bởi $x$ trong phương trình hàm ta được $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Từ đó bằng suy luận quen thuộc ta suy ra: $f(x)=ax,\forall x\in \mathbb{Q}$.

Thay vào phương trình $(1)$ ta rút ra $a^2=1\implies a=\pm{1}$.

Thử lại ta thấy các hàm $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ thỏa mãn và do đó là các hàm cần tìm.

   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-08-2018 - 05:14

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#42 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 25-08-2018 - 05:11

Bài 31: Tìm tất các các số nguyên dương $n$ để $5^{n}+1$ chia hết cho $7^{2000}$.

Bài 32: Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối tia $CA$ lấy điểm $D$ sao cho $CD=CB$.Lấy điểm $E$ sao cho $AE=AB,\angle{BAE}=\angle{BCA}$ và đường thẳng $AB$ cắt đoạn thẳng $DE$ tại điểm $M$ nào đó. Chứng minh rằng: $M$ là trung điểm của $DE$ khi và chỉ khi $\angle{ACB}=2\angle{BAC}$.

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#43 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 26-08-2018 - 06:00

Lời giải bài 31: 

Bước 1: Đặt $a_k=6.7^{k-1}(k\ge 1)$. Khi đó $5^{a_k}-1$ chia hết cho $7^{k}$ nhưng không chia hết cho $7^{k+1}$.

Chứng minh quy nạp. Với $k=1$ đúng. Giả sử đúng với $k$.

Ta có: $5^{a_{k+1}}-1=(5^{7a_k})-1=(5^{a_k}-1)A$.

Trong đó: $A=5^{6a_k}+5^{5a_k}+...+5^{a_k}+1$.

$=u^6+u^5+...+u+1$ với $u=5^{a_k}\equiv 1(\text{ mod 7})$.

Suy ra: $A=\sum\limits_{i=0}^6(7t+1)^i\equiv 7(\text{ mod }7^2)$.

Từ đó và giả thiết quy nạp suy ra: 

$5^{a_{k+1}-1}\vdots 7^{k+1}$ và không chia hết cho $7^{k+2}$.

Bước 2: Nếu $5^{n}\equiv 1(\text{ mod }7^{k})$ thì $n\vdots a_{k}$.

Chứng minh quy nạp theo $k$. Với $k=1$ dễ thấy đúng. Giả sử đúng với $k$. Ta chứng minh đúng với $k+1$.

Nếu $5^{n}\equiv 1(\text{ mod } 7^{k+1} )\implies 5^{n}\equiv 1(\text{ mod }7^{k})\implies n=ta_k(t\in \mathbb{N^*})$.(do quy nạp).

Ta có: $5^{n}-1=(5^{a_k}-1)B$ ở đó: $B=\sum\limits_{i=0}^{t-1}(5^{a_k})^i\equiv t(\text{ mod } 7)$ vì $5^{a_k}\equiv 1(\text{ mod } 7)$.

Theo bước 1, ta phải có: $B\equiv 0(\text{ mod } 7)\iff t\vdots 7\iff n\vdots a_{k+1}=7a_k$.

Bước 3: Giả sử: $5^{n}\equiv -1(\text{ mod } 7^{k})\implies 5^{2n}\equiv 1(\text{ mod } 7^{k})$. Theo bước $2$, ta có: $2n\vdots a_k\iff n=3.7^{k-1}t(t\in \mathbb{Z})$. Vì $(5^{3.7^{k-1}})^2=5^{a{k}}\equiv 1(\text{ mod 7})$ và $5^{3.7^{k-1}}\ne \equiv 1(\text{ mod } 7^{k})$ (do bước 2) nên $5^{3.7^{k-1}}\ne \equiv -1(\text{ mod } 7^{k})$. Thành thử: $5^{n}\equiv -1(\text{ mod }7^{k})\iff (-1)^{t}\equiv -1(\text{ mod } 7^{k})\iff t$ lẻ. Đảo lại, nếu $n=3.7^{k-1}.t$ với $t$ lẻ thì $5^{n}\equiv (-1)^{t}\equiv -1(\text{ mod }7^{k})$.

Kết luận: $n=3t.7^{k-1}=3.t.7^{1999}$ với $t$ lẻ, $t\in \mathbb{N^{*}}$.    

Lời giải bài 32:vbn.jpg

Đặt $(\vec{AE},\vec{AB})=(\vec{CA},\vec{CB})=2\gamma$ và $(\vec{CB},\vec{CD})=\beta$. Xét các phép quay tâm $A$ và tâm $C$ như sau: $Q_{A}^{2\gamma}: E \longmapsto B$ và $Q_C^{\beta}:B\longmapsto D$. Vì $2\gamma+\beta=\pi$. Nên tích hai phép quay trên: $Q_C^{\beta}\circ Q_{A}^{2\gamma}: E \longmapsto D$ là phép đối xứng tâm với tâm $P$ là trung điểm của $DE$.Từ đó: $M\equiv P\iff 2\angle{BAC}=\angle{ACB}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 26-08-2018 - 06:08

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#44 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 26-08-2018 - 06:18

Bài 33: Cho hai số thực $x,y$ thuộc $(0;1)$ và $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $x^{x}+y^{y}$.

Bài 34: Cho số nguyên dương lẻ $k$ và số nguyên dương $n$ thỏa mãn $k<n$. Giả sử có bộ số có thứ tự $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i\in \text{{-1;+1}}\forall \overline{1,n}$. Cho phép thực hiện phép toán sau: lấy $k$ số, nằm ở $k$ vị trí khác nhau của bộ số $(x_1,x_2,...,x_n)$ rồi thay mỗi số bởi số đối của nó.

Cho hai bộ số có thứ tự:

$A=(a_1,a_2,...,a_n)$ với $a_i\in \text{{-1;+1}}\forall i=\overline{1,n}$.

$B=(b_1,b_2,...,b_n)$ với $b_i\in \text{{-1;+1}}\forall i=\overline{1,n}$.

Chứng minh rằng nhờ việc thực hiện liên tiếp một số hữu hạn lần phép thay số nói trên đối với bộ số $A$ ta có thể nhận được bộ số $B$.  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 27-08-2018 - 11:59

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#45 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 26-08-2018 - 16:43

Lời giải khác bài 31.

Nhận thấy 7 là số nguyên tố, do đó 6 là cấp của 5 modulo 7

Ta có:$5^{n}\equiv -1\equiv 5^{3}$ (mod $7$)

$<=> n\equiv 3$ (mod $6$)

$=> n=6k+3$

Có: $v_{7}(5^{n}+1)=v_{7}(5^{6k+3}+1)=v_{7}(5^{3}+1)+v_{7}(2k+1)=1+v_{7}(2k+1)$

Theo giả thuyết, ta đươc5" 

$v_{7}(5^{n}+1)\geq 2000$

$<=> 1+v_{7}(2k+1)\geq 2000$

$<=> v_{7}(2k+1)\geq 1999$

$<=> 2k+1=7^{1999}m$

$=> n=3.7^{1999}m$


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#46 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 27-08-2018 - 06:09

Lời giải bài 33:

Xét hàm số: $f(x)=ln(x)-x+1,x\in (0;+\infty)$. Ta có: $f'(x)=\frac{1}{x}-1$.

Vậy $f'(1)=0,f'(x)>0$ khi $0<x<1$ và $f'(x)<0$ khi $x>1$.

Suy ra: $f(x)\le f(1)=0\forall x\in (0;+\infty)$.

Vậy $xf(\frac{1}{2x})+yf(\frac{1}{2y})\le 0,\forall x,y>0$.

Hay $ln(\frac{1}{2x})^x+ln(\frac{1}{2y})^y\le 0$.

$\implies x^{x}.y^{y}\ge \frac{1}{2}$.

Mặt khác: $x^{x}+y^{y}\ge 2\sqrt{x^{x}y^{y}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.

Đẳng thức xay ra khi: $x=y=\frac{1}{2}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^x+y^y$ là $\sqrt{2}$.

Lời giải bài 34:

Trước hết, ta chứng minh nhận xét: Nhờ việc thực hiện liên tiếp phép toán của đề bài ta có thể đổi một số $a_i$ bất kì của $A$ thành số đối của nó, còn $(n-1)$ số còn lại của $A$ vẫn giữ nguyên giá trị của mình.

Thật vậy xét $a_i$ bất kì thuộc $A$. Lấy $k$ số nào đó trong $(n-1)$ số còn lại của $A$, giả sử: $a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_k}$.

Thực hiện phép toán đã cho lần lượt cho $k$ nhóm số:

$(a_i,a_{i_2},...,a_{i_k});(a_i,a_{i_3},...,a_{i_{k-1}},a_{i_{k}});...;(a_{i},a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_{k-1}})$ 

(ở nhóm $t$ không có mặt số $a_{i_t},t=1,2,...,k$).

Sau lần thực hiện thứ $k$ thì số $a_i$ bị đổi dấu $k$ lần, còn mỗi số $a_{i_j},j=1,2,...,k$ bị đổi dấu $k-1$ lần.Vì $k$ lẻ nên sau lần thực hiện thứ $k$ thì $a_i$ bị đổi thành $-a_i$, còn $k$ số $a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_k}$ vẫn giữu nguyên giá trị của mình. Hiển nhiên $(n-k-1)$ số còn lại (ngoài $a_i,a_{i_1},...,a_{i_k}$) của $A$ cũng giữ nguyên giá trị của mình (do không bị tác động tới).

Nhận xét được chứng minh. Vì $a_i,b_i\in \text{{-1;+1}}\forall i=\overline{1,n}$ nên mỗi $i=1,2,3,...,n$ hoặc như nhau hoặc chỉ khác nhau về dấu. Do đó, từ Nhận xét trên dễ dàng có được điều đề bài yêu cầu chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 29-08-2018 - 12:12

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#47 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 27-08-2018 - 06:20

Bài 35: Trên mặt phẳng cho tập hợp $M$ gồm $n$ điểm, với mỗi điểm thuộc $M$ tồn tại đúng hai điểm thuộc $M$ có khoảng cách đến nó bằng $1$, hơn nữa, khoảng cách giữa hai điểm bất kì của $M$ không vượt quá $1$. Chứng minh rằng: $n$ là số lẻ.

Bài 36: Gọi $AA_1,BB_1$ là hai đường cao của tam giác nhọn $ABC$, $M$ và $M_1$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB$ và $A_1B_1$. Đường thẳng $CM$ cắt lại đường tròn $(A_1B_1C)$ ở $T$ và đường thẳng $CM_1$ cắt lại đường tròn $(ABC)$ ở $T_1$. Chứng minh rằng: $T_1$ đối xứng với $T$ qua đường thẳng $AB$. 

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#48 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 28-08-2018 - 05:40

Lời giải bài 35: Xét hai đoạn thẳng $AB,CD$ có độ dài $1(A,B,C,D\in M)$. Giả sử hai đoạn này không có chung đầu mút, ta sẽ chứng minh chúng cắt nhau tại điểm trong của mỗi đoạn. Thật vậy, giả sử ngược lại xảy ra:

i) Trường hợp 1: $A,B,C,D$ là $4$ đỉnh của một tứ giác lồi. Khi đó $AC+DB>AB+CD=2$. Suy ra $AC>1$ hoặc $BD>1$, mâu thuẩn.

ii) Trường hợp 2: $A,B,C,D$ không phải là $4$ đỉnh của một tứ giác lồi. Khi đó sẽ có một điểm, chẳng hạn $D$ bị chứa bởi $\triangle{ABC}$. Hiển nhiên $D\notin [CB], D\notin [AC]$. Do đó $\angle{BDC}+\angle{ADC}\ge 180^0$ suy ra $\angle{BDC}\ge 90^0$ hoặc $\angle{ADC}\ge 90^0$ và bởi vậy hoặc $BC>CD=1$ hoặc $AC>CD=1$, mâu thuẩn.

Vậy hai đoạn thẳng độ dài $1$ có các đầu mút thuộc $M$ phải hoặc có chung một đầu mút hoặc cắt nhau tại điểm trong của mỗi đoạn $(1)$.

Ký hiệu tất cả các điểm của tập $M$ là $A_1,A_2,A_3,...,A_n$. Nối tất cả các cặp điểm $A_i,A_j$ mà $A_iA_j=1$. Tất cả các đoạn thẳng nối được sẽ cho ta một số hữu hạn các đường gấp khúc đơn, mà mỗi đường gấp khúc đều có tất cả các đỉnh là các điểm thuộc $M$. Xét đường gấp khúc đơn $(K)$ có độ dài lớn nhất và không mất tính tổng quát, giả sử là $A_1A_1...A_k$. Dễ thấy phải có $A_kA_1=1$, và $k\ge 3$. Ta sẽ chứng minh $k$. Thật vậy, nếu $k=3$ thì điều cần chứng minh hiển nhiên đúng.

Xét $k>3$. Khi đó từ $(1)$ và $A_iA_k=1$ suy ra tất cả các đỉnh $A_i$ của $(K)$ với $i$ lẻ lớn hơn $3$ phải nằm trong cùng một nửa mặt phẳng (mở) có bờ là đường thẳng $A_1A_k$, còn tất cả các đỉnh $A_i$ của $(K)$ với $i$ chẵn phải nằm trong cùng một nửa mặt phẳng (mở) đối của nửa mặt phẳng nói trên.

Hơn nữa, do $[A_{k-1}A_k]$ phải cắt $[A_1A_2]$ nên $A_2$ và $A_{k-1}$ không thể nằm khác phía đối với $A_1A_k$. Từ đó $k-1$ chẵn và suy ra $k$ lẻ(2).

Bây giờ ta sẽ chứng minh $k=n$. Thật vậy, giả sử ngược lại $k<n$. Khi đó phải tồn tại $A_p,A_q\in M$ mà $A_p,A_q\notin (K)$ và $A_pA_q=1$. Do $(1)$ nên tất cả các đỉnh $A_i$ của $(K)$ với $i$ lẻ phải nằm trong cùng một nửa mặt phẳng mở có bờ là đường thẳng $A_pA_q$; còn tất cả các đỉnh $A_i$ của $(K)$ với $i$ chẵn phải cùng nằm trong nửa mặt phẳng (mở) đối của nửa mặt phẳng vừa nêu. Hơn nữa do $A_iA_k$ phải cắt $[A_pA_q]$ nên $A_1$ và $A_k$ phải nằm khác phía đối với $A_pA_q$. Từ đó suy ra $k$ chẵn, mâu thuẩn với $(2)$. Vậy $k=n$ và do $(2)$ nên $n$ lẻ.(ĐPCM).

Lời giải bài 36:rtt.jpg

Vì $A_1$ và $B_1$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$, tâm $M$ nên ta được: $\angle{CA_1B_1}=\angle{AB_1M}(1)$, do đó:

$\triangle{A_1B_1C}\sim \triangle{ABC}$.

Lại vì $T$ nằm trên đường tròn $(A_1B_1C)$ nên ta có: $\angle{CA_1B_1}=\angle{CTB_1}(3)$.

Từ $(1),(3)$ suy ra:

$\angle{MAB_1}=\angle{CTB_1}$ và do đó $A,M,T,B_1$ cùng thuộc một đường tròn, từ đó:

$\angle{MAT}=\angle{MB_1T}$ hay là: $\angle{BAT}=\angle{MB_1T}(4)$.

-Đường thẳng $MB_1$ là tiếp tuyến tại $B_1$ của đường tròn $(A_1B_1C)$ và do đó:

$\angle{MB_1T}=\angle{B_1CT}$ hay là: $\angle{MB_1T}=\angle{ACM}(5)$.

 Từ $(2)$ suy ra $\triangle{CA_1M_2}\sim \triangle{CAM}$ và do đó:

$\angle{ACM}=\angle{M_1CA_1}=\angle{T_1CB}(6)$.

Cuối cùng vì $T_1$ nằm trên đường tròn $(ABC)$, nên ta được: 

$\angle{T_1CB}=\angle{T_1AB}(7)$.

Từ $(4)(5)(6)(7)$ suy ra: $\angle{BAT}=\angle{T_1AB}(8)$.

Chứng minh tương tự, ta được: $\angle{TBA}=\angle{ABT}(9)$.

Từ $(8),(9)$ suy ra: $\triangle{ABT}= \triangle{ABT_1}$ và do đó: $T_1$ và $T$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $AB$(ĐPCM).

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 28-08-2018 - 05:42

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#49 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 28-08-2018 - 05:58

Bài 37: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi số $m$ nguyên không âm bất kỳ, tồn tại một đa thức $Q$ có hệ số nguyên sao cho $p^{m}$ là ước chung lớn nhất của tất cả các số $a_p=(p+1)^n+Q(m)(n=1,2,3,...).$.

Bài 38: Cho hàm số: $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Đặt $A_1=\left\{ x\in \mathbb{R},\phi(x)=x\right\};A_2=\left\{ x\in \mathbb{R},\phi(\phi(x))=x\right\}$. Giả sử $A_2\text{ \ } A_1$  là một tập hữu hạn và tồn tại hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x))=\phi(x)\forall x\in \mathbb{R}$.

Chứng minh rằng: Số phần tử của  $A_2\text{ \ } A_1$  là một số nguyên chia hết cho $4$.

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#50 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 29-08-2018 - 05:26

Lời giải bài 37: Trước hết ta chứng minh:

Bổ đề: $\forall k\in \mathbb{N},k<m$ tồn tại $b_{k}\in \mathbb{Z}$ sao cho $b_kp^{m}+p^{k}\vdots k!$.

Chứng minh bổ đề: Giả sử $k!=p^{\alpha_k}M_k$.

với $(M_k,p)=1$. Xét các số $\left\{ep^{m-k}\right\}$ với $e=(0,1,...,M_k-1)$. Dễ thấy chúng lập thành một hệ thặng dư đầy đủ $(\text{ mod }M_k)$. Thành thử tồn tại $b_{k}\in\mathbb{Z}$ sao cho $b_kp^{m-k}\equiv -1(\text{ mod }M_k)$.

$b_kp^{m-k}+1\vdots M_k\implies b^{k}p^{m}+p^{k}\vdots p^{k}.M^{k}$. Mặt khác:

$\alpha_k=\sum\limits_{i=1}^{\infty}[\frac{k}{p^{i}}]<\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{k}{p^i}<k$.

Vậy $b_kp^{m}+p^{k}\vdots p^{\alpha_k}M_k=k!$.

Bổ đề được chứng minh.

Kí hiệu: $f_i(x)=\frac{x(x-1)-(x-i+1)}{i!}$.

Ta có: $f_i(n)=\left\{ \begin{array}{I} C_{n}^{i} \text{ nếu }n\ge i \\0 \text{ nếu } n<i \end{array}\right.$

Đặt $R(x)=-\sum\limits_{c=0}^{m-1}f_i(x)[b_ip^{m}+p^{i}]$.

Theo bổ đề trên $R(x)$ là đa thức có hệ số nguyên.

Ta có: $u_n=(p+1)^{n}+R(n)$.

$=\sum\limits_{i=0}^{n}-\sum\limits_{i=1}^{m-1}f_i(n)p^{i}+p^{m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}f_i(n)b_i$.

$\equiv \sum\limits_{i=0}^{\infty}f_i(n)p^{i}-\sum\limits_{i=1}^{m-1}f_i(n)p^{i}(\text{ mod } p^{m})$.

$\equiv \sum\limits_{i=m}^{\infty}f_i(n)p^{i}\equiv 0(\text{ mod }p^{m}\forall n)$.

Đặc biệt: 

$u_1=(p+1)+R(1)=lp^{m}$.

Ta chứng minh đa thức $Q(x)=R(x)+p^{m}(i-e)$ là đa thức cần tìm.

Thật vậy, $a_n=(p+1)^n+Q(n)=(p+1)^{n}+R(n)+p^{m}(1-e)=u_n+p^{m}(1-e)\vdots p^{m}\forall n$.

mà $a_1=(p+1)+Q(1)=p+1+R(1)+p^{n}(1-e)=ep^{m}+p^m(1-e)-p^{m}$.

Do đó: $p^{m}$ là ƯCLN của $a_1,a_2,...$.

Lời giải bài 38:

Kí hiệu: $f_0(x)=x,f_1(x)=f(x);f_{n+1}(x)=f[f_n(x)]$,

với $x\in A_1$ thì $\phi(x)=x\implies \phi(\phi(x))=x\implies x\in A_2$.

Vậy $A_1\subset A_2$.

Với $x,y\in A_1;x\ne y$ thì $f(f(x))=x\ne y=f(f(y))\implies f(x)\ne f(y)$. Mặt khác,$x\in A_1\implies z=f(x)\in A_1\implies x=f(z)$. Vậy $f$ là hàm $1-1$ trên tập hợp $A_1$. Tương tự, ta cũng có $f$ là hàm $1-1$ trên tập $A_2$. Suy ra, $f$ là hàm $1-1$ trên tập $A=A_1\text{ \ }A_2$. Từ đó, nếu $x\in A$ thì $x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x)))$ là $4$ số thực phân biệt thuộc $A$. Thật vậy:

$x\in A\implies f_4(x)=x$. Nếu $\exists 0\le i,j\le 3;i\ne j$ để $f_i(x)=f_j(x)\implies f_2(x)=x\implies x\in A_1$, mâu thuẩn.

Đặt $M(x)=\left\{x,f(x),f_2(x),f_3(x),x\right\}\in A$.

$M(y)=\left\{y,f_{*}(j),f_2(y),f_3(y),y\right\}\in A$.

Nếu $f_i(y)\in M(x)$ với $i=\left\{0,1,2,3\right\}$ nào đó, thì ta viết""

$M(y)=\left\{f_i(y),f_{i+1}(y),f_{i+2}(y),f_{i+3}(y)\right\}=M(x)$.

Như vậy, $A$ là hợp của một hữu hạn $M(x)$ rời nhau, do vậy $A\vdots 4$ 


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#51 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 29-08-2018 - 05:33

Bài 39: Cho đa thức: $P(x)=(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)$. 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ đều tìm được số nguyên dương $n$ sao cho để $P(n)\vdots p$.

Bài 40: Cho số nguyên $n\ge 3$. Chứng minh rằng, tồn tại hai hoán vị khác nhau $(s_1,s_2,...,s_n)$ và $(t_1,t_2,...,t_n)$ của $(1,2,...,n)$ sao cho:

$s_1+2s_2+...+ns_n=t_1+2t_2+...+nt_n$

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#52 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 29-08-2018 - 11:48

Bài 39: Cho đa thức: $P(x)=(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)$. 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ đều tìm được số nguyên dương $n$ sao cho để $P(n)\vdots p$.

Bài này hình như là tính chất cơ bản của scp mod p thì phải:

TH1: $\left ( \frac{2}{p} \right )=1$ thì tồn tại $n$ để $n^2\equiv 2 (mod p)$ ta có đpcm.

TH2: $\left ( \frac{3}{p} \right )=1$, tương tự ta có đpcm

TH3: $\left ( \frac{2}{p} \right )=\left ( \frac{3}{p} \right )=-1$  thế thì $\left ( \frac{6}{p} \right )=\left ( \frac{2}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=1$ do đó tồn tại $n$ để $n^2 \equiv 6 (mod p)$ ta cũng có đpcm


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#53 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 29-08-2018 - 16:27

Bài 40: Cho số nguyên $n\ge 3$. Chứng minh rằng, tồn tại hai hoán vị khác nhau $(s_1,s_2,...,s_n)$ và $(t_1,t_2,...,t_n)$ của $(1,2,...,n)$ sao cho:

$s_1+2s_2+...+ns_n=t_1+2t_2+...+nt_n$

k nghĩ ra hướng giải quyết nào ngoài dirichle 

TH $n=3$ dễ tìm đc bộ thỏa mãn.

TH $n>3$, theo bđt hoán vị:

$1^2+2^2+...+n^2\geq 1.a_1+2.a_2+...+n.a_n\geq 1.n+2.(n-1)+...+n.1$, do đó $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\geq 1.a_1+2.a_2+...+n.a_n\geq 1.4+2.3+3.2+4.1=20$, mặt khác số bộ là hoán vị của $(1,2,...,n)$ là $n!$

Dễ thấy $n!>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-20+1$ với mọi $n>3$ nên theo dirichle tồn tại $2$ hoán vị thỏa mãn đề!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 29-08-2018 - 16:28

s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#54 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 30-08-2018 - 04:43

Lời giải bài 39: Với $p=2$ ta chọn $n=2$, với $p=3$ ta chọn $n=3$. Xét $p\ne 2,3$. Ta chứng minh nhận xét sau:

Nếu $(a,p)=1$ và $n^2\not\equiv a(\text{ mod }p)$ với $\forall n$ thì $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\text{ mod p})$. 

Thật vậy, với mỗi $k\in \left\{1,2,...,p-1\right\}$ dễ chứng minh rằng tồn tại duy nhất $k'\in\left\{1,2,...,p-1\right\}$ sao cho $kk'\equiv a(\text{ mod p})$. Vì $n^2\not \equiv a(\text{ mod p})$ với mọi $n$ nên $k\ne k'$. Từ đó: $(p-1)!\equiv (1.1')(2.2')...(k.k')...\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\text{ mod p})(1)$.

Mà $(p-1)!\equiv -1(\text{ mod p})$ nên theo định lý Wilson ta.

Do đó ta có $(1)$. Nhận xét được chứng minh.

Trở lại bài toán giả sử $P(n) \not\vdots p\forall n$.

Khi đó $\forall n,n^2\not\equiv 2(\text{ mod p}),n^2\not\equiv 3(\text{ mod p})$ và $n^2\not\equiv 6(\text{ mod p})$. Theo nhận xét trên suy ra: $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\text{ mod p}),3^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\text{ mod p})\implies 6^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\text{ mod p})$ mâu thuẩn với sự kiện $6^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\text{ mod p})$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải bài 40:

Xét bài toán sau: "Cho số nguyên $n\ge 3$ và cho $n$ số thực đôi một khác nhau $a_1,a_2$,...,a_n. Chứng minh rằng tồn tại hai hoán vị $(b_1,b_2,...,b_n)$ và $(c_1,c_2,...,c_n)$" thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$(i)b_i\ne c_i\forall i=\overline{1,n}$.

$(ii)\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_ic_i$.

Chứng minh: 

+ Với $n\ge 3$ ta có: $(a_2,a_3,a_1)$ và $(a_3,a_1,a_2)$ là hai hoán vị thỏa mãn $(i)$ và $(ii)$.

+ Với $n\ge 4$, dễ thấy $(a_2,a_3,....,a_n,a_1)$ và $(a_n,a_1,a_2,...,a_{n-1})$ là hai hoán vị thỏa mãn $(i)$ và $(ii)$.

Chọn $a_i=i,\forall i=\overline{1,n}$ và thay điều kiện $(i)$ bởi điều kiện nhẹ hơn "$(b_1,b_2,...,b_n)$ và $(c_1,c_2,...,c_n)$ là hai hoán vị khác nhau ", từ bài toán trên ta có bài toán đã ra.    


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 30-08-2018 - 04:45

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#55 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 30-08-2018 - 04:52

Bài 41: Cho dãy số $\left\{x_n\right\}$ thỏa mãn: $x_1=1$ và $(n+1)(x_{n+1}-x_{n})\ge 1+x_{n}\forall n\ge 1(n\in \mathbb{N})$. Chứng minh rằng: Dãy số $\left\{x_n\right\}$ không bị chặn.

Bài 42: Chứng minh rằng, tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn đẳng thức: $x^x+y^y=z^{p}$ trong đó $p$ là số nguyên tố lẻ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 30-08-2018 - 04:53

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#56 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 31-08-2018 - 05:14

Lời giải bài 41: Từ giả thiết của bài ra, dễ có: $x_{n+1}\ge x_n+\frac{1+x_n}{n+1}\forall n\in \mathbb{N^*}$.

Bằng quy nạp theo $n$, ta sẽ chứng minh $x_n\ge n(2)\forall n\in\mathbb{N^*}$.

Với $n=1$ có $x_1=1$ và do đó $(2)$ đúng với $n=1$.

Giả sử đã có $(2)$ với $n=k\ge 1$. Xét $n=k+1$, theo $(1)$ ta có:

$x_{k+1}\ge x_k+\frac{1+x_{k}}{k+1}\ge k+\frac{1+k}{k+1}=k+1$.

Như vậy, ta cũng có $(2)$ với $n=k+1$. Và do đó, theo nguyên lý quy nạp, ta có $(2)\forall n\in \mathbb{N^*}$.

Từ đây suy ra dãy $\left\{x_n\right\}$ không bị chặn trên và vì thế dãy $\left\{x_n\right\}$ là dãy không bị chặn.

Lời giải bài 42: Ta chứng minh bài toán Bài toán tổng quát sau:"Cho $n\in \mathbb{N^*}$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện $n\not\vdots p$.Chứng minh rằng, tồn tại các số nguyên $x_1,x_2,...,x_{n+1}$" thỏa mãn đẳng thức: $x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+...+x_n^{x_n}=x_{n+1}$.

Thật vậy, chọn $x_1=x_2=...=n^{p-1}$ ta có:

$x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+...+x_n^{x_n}=n.(n^{p-1})^{n^{p-1}}=n^{[(p-1)n^{p-1}+1]}$.

Vì $n\not\vdots p $ và $p$ là số nguyên tố nên $n^{p-1}\equiv 1(\text{ mod p})$( theo định lý nhỏ Fecma). 

$\implies (p-1)n^{p-1}+1\equiv 0(\text{ mod p})$

Suy ra tồn tại $k\in\mathbb{N^*}$ sao cho $(p-1)n^{p-1}+1=kp$. Bởi thế, từ $(1)$ ta thấy, khi chọn $x_{n+1}=n^{k}$ thì ta sẽ có $n+1$ số nguyên dương $x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}=n^{k}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặc biệt, cho $n=2$ và $p$ là số nguyên tố lẻ, từ bài toán tổng quát ta có bài toán đã ra.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 31-08-2018 - 05:26

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#57 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 31-08-2018 - 05:25

Bài 43:  Ở mỗi ô vuông của một bảng kẻ ô vuông hình chữ nhật kích thước $1964 X 1994$ được ghi một số có giá trị tuyệt đối không quá $1$. Biết rằng tổng các số ở tất cả các ô vuông trong một hình vuông kích thước $3 X 3$ bất kì bằng $0$. Chứng minh rằng, tổng các số ở tất cả các ô vuông của bảng không vượt quá $3334$.

Bài 44: Cho $167$ tập hợp $A_1,A_2,...,A_{167}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$(1)\sum\limits_{i=1}^{167}|A_i|=2004;$.

$(2)|A_j|=|A_i|.|A_i\cap A_j|$ với mọi $i,j\in\left\{1,2,...,167\right\}$ và $i\ne j$.

Tính $|A_1\cup A_2...\cup A_n|$, trong đó $|A|$ là kí hiệu số phần tử của tập hợp $A$.

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#58 Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi cuối của đường chân trời!
  • Sở thích:Ngắm những gì đẹp nhất, bao gồm cả cô ấy!

Đã gửi 31-08-2018 - 11:17

Bài $43$ là trường hợp riêng của đề thi chọn đội tuyển KHTN 2015-2016 vòng II ngày 4, mình chưa nghĩ ra ;)

https://diendantoanh...n-khtn-vòng-ii/

 

Bài 44: Cho $167$ tập hợp $A_1,A_2,...,A_{167}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$(1)\sum\limits_{i=1}^{167}|A_i|=2004;$.

$(2)|A_j|=|A_i|.|A_i\cap A_j|$ với mọi $i,j\in\left\{1,2,...,167\right\}$ và $i\ne j$.

Tính $|A_1\cup A_2...\cup A_n|$, trong đó $|A|$ là kí hiệu số phần tử của tập hợp $A$.

Xin chém bài này trước xD:

Từ $(2)$ , thế $i$ bởi $j$, $j$ bởi $i$ ta được $|A_i\cap A_j|=1$ và $|A_i|=|A_j|$ với mọi $i,j$, suy ra $|A_i|=12$ với mọi $i$

Ta đi chứng minh tất cả các tập $A_1,...,A_167$ chung nhau đúng $1$ phần tử.

Thât vậy,  do $|A_i\cap A_j|=1$, có $167$ tập hợp, mỗi tập có đúng $12$ phần tử nên theo đi dép lê: tồn tại ít nhất $\left \lfloor \frac{167}{12} \right \rfloor=13$ tập có chung 1 phần tử $a$.

Không mất tq giả sử đó là $A_1,A_2,...,A_13$. Với mỗi $k\geq 14$, Giả sử tập $A_k$ không có chung phần tử $a$ với bất kì tập nào trong $13$ tập $A_1,A_2,...,A_13$, thế thì theo đi dép lê tiếp, tồn tại phần tử $b$ là phần tử chung của $A_k$ và ít nhất $2$ tập $A_m,A_n$ trong $13$ tập $A_1,A_2,...,A_13$, nhưng điều này có nghĩa là $2$ tập $A_m,A_n$ có $2$ phần tử chung là $a,b$ mâu thuẫn.

Vậy tất cả $167$ tập có chung 1 phần tử duy nhất: $a$

Nó có nghĩa là: $\bigcap_{i_1,i_2,...,i_k\in\left \{ 1,2,...,167 \right \}}^{i_m\neq i_n}|A_{i_1}\cap ...\cap A_{i_k}|=1, k=2,...,167$

Do đó theo nguyên lý bù trừ: $|A_1\cup A_2\cup ...\cup A_{167}|=167.12-C_{167}^2+C_{167}^2-....-C_{167}^{167}$


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies


#59 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-09-2018 - 05:00

Lời giải bài 43: 

Chia bảng đã cho thành $2$ phần: một phần là hình vuông $1964X1964$ và phần còn lại là hình chữ nhật $30X1964$.

Xét bảng $1964X1964$. Chia bảng này thành $655$ phần bằng nhau: Phần $1$ là hình vuông $2X2$ nằm ở góc trên bên trái của bảng; phần $2$ là hình vuông $5X5$, ở góc đó của bảng, bỏ đi phần $1$;...; phần $k(2\le k\le 655)$ là hình vuông $[2+3(k-1)]X[2+3(k-1)]$, nằm ở góc trên của bảng, ỏ đi các phần $1,2,...,{k-1};...$. 

Dễ thấy từ phần $2$ trở đi, tổng tất cả các số nằm ở các ô vuông của mỗi phần không vượt quá $5$. Từ đó suy ra tổng các số nằm ở tất cả các ô vuông của bảng $1694X1964$ không vượt quá: $654X5+4=3274$.

Xét bảng $30X1964$. Chia bảng này thành $2$ phần: phần $1$ là hình chữ nhật $30X1962$ và phần $2$ là hình chữ nhật $30X2$. Dễ thấy tổng của tất cả các số trong bảng $30X1964$ bằng tổng tất cả các số trong phần $2$. Do tổng tất cả các số trong bảng $30X3$ bằng $0$ và tổng tất cả các số trong bảng $30X1$ không bé hơn $-30$ nên tổng tất cả các số trong phần $2$ không vượt quá $30$.

Tóm lại, tổng tất cả các số trong bảng đã cho không vượt quá: $3274+30=3304$. Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Lời giải bài 44: 

+ Ta có: $|A_j|=|A_i|.|A_j\cap A_i|$.

$|A_i|=|A_j|.|A_i\cap A_j|$.

$\implies |A_i|=|A_i|.|A_i\cap A_j|^2$.

Nếu $|A_i|=0$ thì từ $(2)\implies |A_j|=0\forall j\ne i$.

Điều này mâu thuẩn với $(1)$. Vậy $|A_i|\ne 0$.

Do đó $|A_i\cap A_j|=1(i\ne j)$ và $|A_i|=|A_j|$.

Do đó: $|A_i|=12,\forall i$.

+ Xét tập $A_1$. Mỗi tập $A_2,A_3,...,A_{167}$ đều chứa và chỉ chứa $1$ phần tử của $A_1$. Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất $[\frac{167}{12}]+1=14$ tập cùng chứa một phần tử của $A_1$. Không giảm tổng quát, giả sử $14$ tập $A_2,A_3,...,A_{15}$ cùng chứa phần tử $a\in A_1$. Ta sẽ chứng minh $a\in A_i,\forall i$.

Thật vậy, giả sử tồn tại $i>15,a\notin A_i$.

Đặt $B_i=A_i\text{ \ }\left\{a\right\}$.

Khi đó với mỗi $A_j(j=2,3,...,15)$ ta có: $|A_j\cap A_i|=1$ do đó $|A_j\cap B_i|=1$. Giả sử $A_j\cap B_i=\left\{b_j\right\}$. 

Ta có: $b_{j_1}\ne b_{j_2},$ vì nếu $b_{j_1}=b_{j_2}$ thì hai tập $A_{j_1}$ và $A_{j_2}$ có hai phần tử chung là $a$ và $b_{j_1}$ trái với $|A_i\cap A_j|=1$. Như vậy $b_2,b_3,...,b_{15}$ là $14$ phần tử thuộc $A_i$. Điều này không xảy ra vì $|A_i|=12$.

Vậy với mọi $i\ne j$ ta có: $A_i\cap A_j=\left\{a\right\}$.

+Đặt $B_i=A_i\text{ \ }\left\{a\right\}\forall i$ thì $B_i\cap B_j=\emptyset$ với mọi $i\ne j$. Do vậy:

$|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_{167}|=167.11+1=1838.$   

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#60 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1456 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-09-2018 - 05:10

Bài 45: Hãy tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$, lấy giá trị trong $\mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ thức: 

$f(f(x-y))=f(x).f(y)-f(x)+f(y)-xy$ với mọi số thực $x,y$.

Bài 46: Hãy tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $(x,y,n)$ thỏa mãn hệ thức: $\frac{x!+y!}{n!}=3^{n}$. (Quy ước: $0!=1$).

 

 

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh