Lời giải bài 29: Từ cách xác định dãy $(u_n)$ ta có nhận xét sau:
Nếu $\exists m\in \mathbb{N^*}$ để $u_{m}=u_{m+1}$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=u_m$.
-Khi $a\in (0;1)\cup [3;4)\cup [6;12)$ thì $u_1=u_2$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a$.
-Khi $a\in [1;2)\cup [4;5)$ thì $u_3=u_4=a+2$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+2$.
-Khi $a\in [2;3)\cup [5;6)$ thì $u_2=u_3=a+1$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+1$.
-Khi $a\in [12;13)$ thì $u_2=u_1-1$ nên $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a-1=11+\text{{a}}$.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo $m$: Nếu tồn tại $u_i\in[12+m;12+m+1)$ thì tồn tại $u_j\in[11,12)$ với $j$ đủ lớn.
Thật vậy, nếu $u_t\in [12+k+1,12+k+2)$.
Thì $u_{t+1}=u_t+[\sqrt{u_t}]-[\frac{u_t}{3}]<u_t$.
Suy ra: $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=11+\text{{a}}$.
Kết luận:
-Nếu $a\in (0;1)\cup [3;4)\cup [6;12)$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a$.
-Nếu $a\in [1;2)\cup [4;5)$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+2$.
-Nếu $a\in [2;3)\cup [5;6)$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=a+1$.
-Nếu $a\ge 12$ thì $\lim\limits_{n\to \infty} u_n=11+\text{{a}}$.
Lời giải bài 30:
+ $f$ đơn ánh. Thật vậy nếu $f(a)=f(b)\implies a+f(y)=f(f(a)+y)=f(f(b)+y)=b+f(y)$ với mọi $y\implies a=b$.
Cho $x=0$ ta được $f(y+f(0))=f(y)\implies y+f(0)=y\implies f(0)=0$.
Trong phương trình hàm ở đề bài cho $y=0\implies f(f(x))=x(1)$.
Thay $f(x)=x$ bởi $x$ trong phương trình hàm ta được $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Từ đó bằng suy luận quen thuộc ta suy ra: $f(x)=ax,\forall x\in \mathbb{Q}$.
Thay vào phương trình $(1)$ ta rút ra $a^2=1\implies a=\pm{1}$.
Thử lại ta thấy các hàm $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ thỏa mãn và do đó là các hàm cần tìm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-08-2018 - 05:14