Lời giải bài 141: Nếu $n$ là một số lẻ thì $d_1,d_2,,d_3,d_4$ là bốn số lẻ, do đó $d_1^2\equiv d_2^2\equiv d_3^2\equiv d_4^2\equiv 1(\text{ mod }4)$ và $n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\equiv 0(\text{ mod }4)$
Vô lý vì $n$ là một số lẻ. Vậy $n$ chỉ có thể là một số chẵn.
Nếu $n\vdots 4$ thì $d_1=1,d_2=3,d_3^2+d_4^2$ chỉ có thể chia $4$ dư $0,1$ hoặc $2$.
Ta có: $n\equiv 1+0+d_3^2+d_4^2\equiv 0(\text{ mod }4)$
Nên $d_3^2+d_4^2\equiv 3(\text{ mod }4)$, vô lý. Vậy $n\equiv 2(text{ mod }4)$. Do đó chỉ có thể xảy ra hai khả năng sau:
$\left\{d_1,d_2,d_3,d_4\right\}=\left\{1,2,p,2p\right\}$ hoặc $\left\{d_1,d_2,d_3,d_4\right\}=\left\{1,2,p,q\right\}$ với $p,q$ là các số nguyên tố nào đó.
Trường hợp $\left\{d_1,d_2,d_3,d_4\right\}=\left\{1,2,p,q\right\}$ không xảy ra vì khi đó $n\equiv 3(\text{ mod }4)$. Vậy $\left\{d_1,d_2,d_3,d_4\right\}=\left\{1,2,p,2p\right\}$ nên $n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^=5(1+p^2)$ suy ra $n\vdots 5$ và $p=5$. Từ đó ta có: $n=130$.
Lời giải bài 142: Giả sử không có hai phần tử nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Giả sử $A=\left\{a_1;a_2;...;a_p\right\},B=\left\{b_1;b_2;...;b_q\right\}$
trong đó $p,q\ge 1$ và $p+q>2010$.
Xét $C=\left\{c_1;c_2;...;c_p\right\}$, trong đó $c_i=2010-a_i,\forall i=\overline{1,p}$. Ta có: $C\subset X$.
Theo giả thiết phản chứng ta suy ta $B\cap C=\emptyset$.
Do đó $|B|+|C|=|B\cup C|\le 2009$.
Suy ra $p+q<2010$, vô lý.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-02-2019 - 05:43