Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuThao36]

Cho $S=\left | -C_{2018}^{0}+3C_{2018}^{2}-3^{2}C_{2018}^{4}+...-3^{1008}C_{2018}^{2016}+3^{1009} C_{2018}^{2018}\right |$. Hỏi S có bao nhiêu chữ số

[chanhquocnghiem]

Cho $S=\left | -C_{2018}^{0}+3C_{2018}^{2}-3^{2}C_{2018}^{4}+...-3^{1008}C_{2018}^{2016}+3^{1009} C_{2018}^{2018}\right |$. Hỏi S có bao nhiêu chữ số

Dễ thấy rằng $-C_{2018}^0+3C_{2018}^2-3^2C_{2018}^4+...-3^{1008}C_{2018}^{2016}+3^{1009}C_{2018}^{2018}$ chính là phần thực trong khai triển của $(i+\sqrt{3})^{2018}$

Mặt khác :

$(i+\sqrt{3})^{2018}=\left [ 2\left ( \cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right ) \right ]^{2018}=2^{2018}\left ( \cos\frac{1009\pi}{3}+i\sin\frac{1009\pi}{3} \right )$

Phần thực của nó là $\Re\left [ (i+\sqrt3)^{2018} \right ]=2^{2018}\cos\left ( \frac{1009\pi}{3} \right )=2^{2017}$

Vậy $S=2^{2017}$

$\log S=2017\log 2\approx 607,1775\Rightarrow S$ có $608$ chữ số.